Sup ve inf ile ilgili bir özdeşlik.

Question

$\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ kümesi alttan sınırlı olmak üzere

$$\inf A=-\sup(-A)$$

olduğunu ispatlayınız.

Comments

$A$ kümesi alttan sınırlı olmalı.

Answer 1

Teorem: $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ kümesi alttan sınırlı olmak üzere 

$$\inf A=-\sup(-A).$$

İspat: $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ kümesi alttan sınırlı $($yani $A^a\neq\emptyset)$ olsun. Aksi takdirde $A$ kümesinin infimumu olmaz.

$-------------------------------$

$$(\forall a\in A)(\inf A\leq a)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall a\in A)(-a \leq -\inf A)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall (-a)\in (-A))(-a \leq -\inf A)$$

$$\Rightarrow$$

$$-\inf A\in (-A)^ü$$

$$\Rightarrow$$

$$\sup(-A)\leq -\inf A$$

$$\Rightarrow$$

$$\inf A\leq -\sup(-A)\ldots (1)$$

$-------------------------------$

$$A^a\neq\emptyset$$

$$\Rightarrow$$

$$(-A)^ü\neq\emptyset$$

$$\Rightarrow$$

$$\sup(-A)\in\mathbb{R}$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall (-a)\in (-A))(-a \leq \sup(-A))$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall a\in A)(-\sup(-A)\leq a)$$

$$\Rightarrow$$

$$-\sup(-A)\in A^a$$

$$\Rightarrow$$

$$-\sup(-A)\leq \inf A\ldots (2)$$

$-------------------------------$

$$(1),(2)\Rightarrow \inf A=-\sup(-A).$$

Comments

Anıl soru, senin sorduğun gibi kalmasın. Müsait olduğun bir ara düzenlersen iyi olur.

---

$A$ kümesi alttan sınırlı olmalı. Hala düzeltmemişsin.