Önce şunu belirtelim (linkte de var, orada "simetrik" olduğunu da söylüyor.)
$\Phi_n(x)$ in kökleri birimin $n$-inci ilkel (primitive) kökleridir (hepsi basit).
$z$, biriminin bir ilkel köküdür $\Leftrightarrow$ $z^{-1}$ birimin bir ilkel köküdür.
Ayrıca $n>2$ için $z\neq z^{-1}$ dir. ($z=z^{-1}$ ise $z^2=1$ olur, $z$ ilkel kök olamaz)
Bunun sonucu olarak:$\phi(n),\ n>2 $ için daima çifttir (bunun doğrudan gösterilmesi de basit bir soru olur)
Buradan ($k=\phi(n)$=ilkel köklerin sayısı olmak üzere)
$\Phi_n(x)$ ve $x^{k}\Phi_n(\frac1x)$ aynı köklere ($k$ tane basit kök) sahip aynı dereceli iki
polinomdur. $\Phi_n(x)$ in başkatsayısı 1, $x^k\Phi_n(\frac1x)$ in başkatsayısı $(-1)^k$ dır.
$n>2$ için $k$ çift olduğundan, onun da başkatsayısı 1 dir. Bu nedenle eşittirler.
$n=2$ için tek ilkel kök $-1$ dir. $z=z^{-1}$ simetri doğrudan $x\Phi_2(\frac1x)=x(\frac1x-z)=x(\frac1x-\frac1z)=\frac{z-x}z=x-z=\Phi_2(x)$) görülür.
$\Phi_n(x)=x^{k}\Phi_n(\frac1x)$ olması $\Phi_n(x)$ in simetrik olması demektir.