İntegral eşitsizlik kanıt.

Question

$(a_n)_n$ dizisi şu şekilde tanımlansın;

   $a_n= \Large\displaystyle \int_{0}^{1}\underbrace {\frac{dx}{\sqrt{2+ \sqrt{2+....+{\sqrt{2x}}}}}}_{n}$ 

  

Şunu Kanıtlayalım :  $\large\frac1{2}\leqslant a_n\leqslant\underbrace {\frac1{\sqrt{2+ \sqrt{2+....+{\sqrt{2}}}}}}_{n-1}$ , Tüm  $n\geqslant1$ 

Ve $(a_n)_n$ dizisinin limitini bulunuz?

Comments

En sonda $x$ ver mi, hata ile mi orada? Varsa eger $x$ nereye ait?

---

Ayrıca neye göre integre edileceği de belli değil.

---

isterseniz ufak bir resim atayım?

---

Pardon, $x$ degiskenindeyiz, dogru.

---

$0 \le x \le 1$ icin paydadaki terim $n-1$ terimliden buyuk olur ve $x=1$ karsilik gelen limit degeri (artanlik ve usten sınırlılık) $2$ oldugundan $2$'den kucuk olur. Ters cevirdigimizde esitsizligi elde ederiz ve sıkıştırma teoremi ile de limit degerini $1/2$ olarak buluruz.

---

Teşekkürler hocam ayrıntıyı görmemişim .