Normal altgruplarda altgrup şartı kaldırılırsa.

Question

bir $G$ ve bos olmayan alt kumesi $H$ ornegi verin ki: tum $g \in G$ icin
$H^g=H$ olsun ama $H$ altkumesi $G$'nin normal altgrubu olmasin.

Comments

Burada "normal altküme"nin tanımı nedir tam olarak? Eşleniklik (conjugacy) altında kapalı olması değil mi?

---

Duzelttim. :)

---

Sanırım sorunun aşikar bir çözümü olmaması için grubun değişmeli olmaması gerektiği koşulu da koyulmalı, aksi takdirde herhangi bir değişmeli grup alıp $H$'yi alt grup olmayan herhangi bir alt küme seçebiliriz :)

---

maksat farkin ogrenilmesi. :) ama haklisin.

---

G değişmeli olursa?

---

Burak asagida tum degismeli gruplar icin de cevap verdi..

Answer 1

Örnek 0. $G$ bir abel grubuysa, $H$ altgrup olmayan herhangi bir altküme olsun.

Örnek 1. Herhangi bir normal altgrup al ve içinden 1'i çıkar.

Örnek 2. Herhangi bir $1\neq x$ al gruptan ve $x^G = \{g^{-1}xg : g \in G\}$ kümesine bak.

En genel örnek: $H^G = H$ eşitliğini sağlayan her altküme, bir $X\subseteq G$ için $X^G$ biçimindedir. (Elbette!) Bunlar arasında altgrup olmayan çok vardır.

Answer 2

Rastgele bir $G$ alalım öyle ki $|Z(G)| > 1$ olsun. Grubun merkezi $Z(G)$ ve merkezinin herhangi bir alt kümesi herkesle değişmeli elemanlardan oluştuğu için eli mahkum eşleniklik altında kapalı olacaktır. Yani $H$ alt kümesi olarak $Z(G)$'nin $G$ içinde alt grup olmayan herhangi bir alt kümesini seçebiliriz.