Question

$(X, \tau)$ topolojik uzay ve $A \subseteq X$ olmak üzere $$A \in \tau \Rightarrow \overline{A\cup A^{d}}=X$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

$A^d=?$           

---

$(X, \tau)$ topolojik uzay ve $A \subset X$  olmak üzere 

$A^{d}:=(\setminus A)^{\circ}$ olarak tanımlanır.

---

$$\overline {A\cup A^d}\subset X$$ olduğu açık. Şöyle ki: 

$$\overline {A\cup A^d}=\overline {A\cup (\setminus A)^{\circ}} \subset \overline {A\cup (\setminus A)}=\overline {X}=X\ldots (1)$$

O halde $$\overline {A\cup A^d}\supset X$$ olduğunu gösterirsen ispat biter. Onu da şöyle yapabiliriz.

$$\overline{A\cup A^d}=\overline{A}\cup \overline{A^d}=\overline{A}\cup \overline{(A^c)^{\circ}}=\overline{A}\cup \overline{\left(\overline{A}\right)^c}\supset\overline{A}\cup \left(\overline{A}\right)^c=X\ldots (2)$$

O halde

$$(1),(2)\Rightarrow \overline {A\cup A^d}=X.$$

Answer 1

$$\overline {A\cup A^d}\subset X$$ olduğu açık. Şöyle ki: 

$$\overline {A\cup A^d}=\overline {A\cup (\setminus A)^{\circ}} \subset \overline {A\cup (\setminus A)}=\overline {X}=X\ldots (1)$$

O halde $$\overline {A\cup A^d}\supset X$$ olduğunu gösterirsen ispat biter. Onu da şöyle yapabiliriz.

$$\overline{A\cup A^d}=\overline{A}\cup \overline{A^d}=\overline{A}\cup \overline{(A^c)^{\circ}}=\overline{A}\cup \overline{\left(\overline{A}\right)^c}\supset\overline{A}\cup \left(\overline{A}\right)^c=X\ldots (2)$$

O halde

$$(1),(2)\Rightarrow \overline {A\cup A^d}=X.$$