Üreteç fonksiyon sorusu

Question

Elimizde $p$ asal sayısı için $$\tau(p^{n+1})=\tau(p)\tau(p^n)-p^{11}\tau(p^{n-1})$$ ilişkisini sağlayan bir dizi olsun ve $\tau(0)=0$, $\tau(1)=1$ eşitliklerini biliyor olalım. Bu dizinin üreteç fonksiyonuyla ilgili olarak aşağıdaki eşitliği ispatlayın: $$\sum_{n=0}^{\infty}\tau(p^n)x^n=\frac{1}{1-\tau(p)x+p^{11}x^2}$$

Genel olarak $\eta(p^n)$ değeri $\eta(0),\eta(1),\cdots,\eta(p^{n-1})$ değerlerinin bir polinomu cinsinden veriliyorsa, yukarıdakine benzer bir eşitliği kanıtlayabilir misiniz?

Answer 1

$(\tau(p)x-p^{11}x^2)\sum_{n=0}^{\infty}\tau(p^n)x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\tau(p)\tau(p^n)x^{n+1}-\sum_{n=0}^{\infty}p^{11}\tau(p^n)x^{n+2}$

$=\sum_{n=0}^{\infty}\tau(p)\tau(p^n)x^{n+1}-\sum_{n=1}^{\infty}p^{11}\tau(p^{n-1})x^{n+1}$

$=\tau(p)x+\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p)\tau(p^n)x^{n+1}-\sum_{n=1}^{\infty}p^{11}\tau(p^{n-1})x^{n+1}$

$=\tau(p)x+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tau(p)\tau(p^n)-p^{11}\tau(p^{n-1})\right)x^{n+1}$

$=\tau(p)x+\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n+1})x^{n+1}=\tau(p)x+\left(\sum_{n=-1}^{\infty}\tau(p^{n+1})x^{n+1} -\tau(p)x-1\right)$

$=\sum_{n=0}^{\infty}\tau(p^{n})x^{n} -1$ olur. Buradan $\sum_{n=0}^{\infty}\tau(p^n)x^n$ çözüldüğünde

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\tau(p^n)x^n=\frac1{1-\tau(p)x+p^{11}x^2}$ elde edilir.

Comments

Elinize sağlık hocam.