Step Fonksiyonlar ölçülebilirdir.

Question

$X$ bir küme olsun. 

$s:X \longrightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu tanımlansın.

Eğer  $s(X)$, $\mathbb{R}$'nin sonlu altkümesi ise bu fonksiyona step fonksiyon denir.

Mesela $s(X)=\{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_l\}, \ \ \alpha_i \in \mathbb{R}, \ \ i=1,2,...,l$  olsun. 

$A_i=:s^{-1}(\alpha_i)=\{x \in X \ | \ s(x)=\alpha_i \}$ kümesi tanımlayalım.

O zaman $X=\bigcup_{i=1}^lA_i$ olur.

Sorum şu: $s$ ölçülebilirdir ancak ve ancak $A_i$ ölçülebilirdir her $i=1,2,...,l$.

Comments

Sağdan sola kanıt yaparken amaç şu: $\mathbb{R}$'nin her ölçülebilir altkümesinin $s$ altında ters görüntüsü $X$'in ölçülebilir bir altkümesine eşittir. $\mathbb{R}$'nin ölçülebilir altkümeleri nelerdir? $\mathbb{R}$'nin her altkümesi ölçülebilir midir?

---

Elbette ki Hayır.

Ama burada her kümenin değil, tek elemanlı kümlerin ölçülebilir olması yeterli.

Ölçülebilir fonksiyon tanımında her ölçülebilir kümenin ters görüntüsünün değil, sadece bazı çok özel kümelerin ters görüntüsünün ölçülebilir olması koşulu aranır.

---

Sanırım anladım hocam.

$\{\alpha_i\} \subset \mathbb{R}, \ i=1,2,...,l$ kümelerinin ölçülebilir olduğunu gösterdiğimizde 

$s^{-1}(\{\alpha_i\}) = A_i$ olduğundan $s$ ölçülebilirdir diyeceğiz.