Sonsuz elemanlı kümeler için ölçü fonksiyonu

Question

$X$, sayılamayan bir küme olsun. 

$\mathcal{A}:=\{B \subset X \ \ | \ \  B \ \ sayılabilir \ \ ya \ \ da \ \ X\backslash B \ \ sayılabilir \}$, şeklinde tanımlanan $X$'in bir $\sigma-cebiri$ olsun.

$\mu:\mathcal{A}\longrightarrow[0,\infty]$ öyle ki $\mu(A_i)=0$, eğer $A_i$ sayılabilir ise, $\mu(A_i)=1$, eğer $A_i^C$ sayılabilir ise.

$\mu$ ölçü fonksiyonu olduğunu gösteriniz.

Comments

Hangi aksiyomda takıldın?

---

$\bigcup B_i=\sum\mu(B_i)$, bu aksiyomda takıldım hocam.

$B_i$ kümeleri bazı $i$ değerleri için sayılabilir bazı $i$ değerleri için sayılamayan olduğu durumda özellikle.

---

Eşitlik olmasına gerek yok dimi? $\mu(\bigcup B_i) \leq \sum \mu (B_i)$ olduğunu göstereceksin.

$B_i$'lerden biri için $B_i^c$ sayılabilir ise, o zaman $(\bigcup B_i)^c$ de sayılabilir olur. Dolayısıyla sol taraf $1$ olacak. Sağ tarafta da en az bir tane $1$ var.

---

$\mu$'nün ölçü fonksiyonu olması için eşitlik olmalı hocam. 

En son şu şekilde düşündüm:

$\{B_1,B_2,...\}$ ölçülebilir kümeler olsun. Varsayalım ki $B_k$ sayılamaz olsun. 

$B_k$ ölçülebilir olduğundan (i.e $B_k \in \mathcal{A}$), $B_k^C$ de ölçülebilirdir (i.e. $B_k^C \in \mathcal{A}$). 

$B_k^C\in \mathcal{A}$ ve $B_k$ sayılamaz olduğundan, $B_k^C$ sayılabilir diyebiliriz.

$B_i \cap B_j = \emptyset$ ise $B_i \subset B_k^C$ , $i \neq k$. O zaman $i \neq k$ için $B_i$ sayılabilir olur.

$\mu(\bigcup_i B_i) = 1$, çünkü $(\bigcup_i B_i)^C$ sayılabilir.

$\sum_i \mu(B_i)=\mu(B_1)+\mu(B_2)...+\mu(B_{k-1})+\mu(B_k)+\mu(B_{k+1})...=0+0+...+0+1+0+...=1$

Sonuç olarak $\mu(\bigcup_i B_i) =\sum_i \mu(B_i)$ elde ederiz.

---

Hayır H.B.Özcan hocam. En basitinden Lebesgue ölçüsünü düşün. (0,2)'nin ölçüsü 2. (1,3)'ün ölçüsü 2. Ama (0,3)'ün ölçüsü 3. Eşitlik istemek çok büyük bir istek.

Hatta şöyle düşün: $B_1 =B_2 =B$ olsun. $$\mu(B_1 \cup B_2) = \mu (B \cup B) = \mu (B) \neq 2 \mu (B) = \mu (B) + \mu (B) = \mu (B_1)+ \mu (B_2)$$ eğer $\mu(B) \neq 0, \infty$ ise. 

---

Ozgur Hocam tekrar kontrol ettim tanımı ölçü fonksiyonu ise eşit olması gerektiğini söylüyor.

---

Ah OK. "pairwise disjoint" anahtar kelime. Benim verdiğim örnekler pairwise disjoint değiller.

$B_1^c$ ve $B_2^c$ sayılabilir olsun. Bu durumda $$B_1 \cap B_2 = \emptyset \iff B_1^c \cup B_2^c = \mathbb{R}$$ olur ve $\mathbb{R}$ sayılabilir olur. 

Demek ki kontrol etmen gereken $B_i$ kümelerinin "bazı i değerleri için sayılamaz olması" demek "bir tanesinin (ve yalnızca bir tanesinin) sayılamaz olması demek." Bu durumda da toplam da sayılamaz olacağı için $1=1$ elde edersin.

(Not: Bir önceki yorumunu henüz okumadım)