Question

$a,b,c$ pozitif reel sayılar olmak üzere $\frac{a}{b+c}+ \frac{b}{a+c}+ \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$ Nesbitt eşitsizliğini kanıtlayınız

Answer 1

Umarım yanlış dusunmemisimdir. Eşitsizlik konusunda calismam ereken cok şey var.

Comments

Temel hocam, özellikle ilk kısmı çok güzel olmuş sadece en son kısımda ufak bir Yazım hatası (x in en küçük Değeri )var sanırım ama olmuş ve çok da güzel olmuş 

---

Teşekkür ederim Yavuz Hocam. Orada bir yaklaşım hatam var.X büyüdükçe P değerleri daha da küçülüyor. Sanırım birbirine bağımlı değişkenlere bağımsız gibi davrandım. Hata yapa yapa öğreneceğim bu eşitsizlikler konusunu :).

---

Temel hocam, hiç şüphem yok nerdeyse her tip soruya çok da güzel Çözümler veriyorsunuz 

Answer 2

Yeniden dzenLeme estsizligine gore a<=b<=c ise (a,b,c. ) ile ayni sirali( 1/b+c,1/c+a,1/a+b) 

(a/(b+c) ) +(b/(a+c))+(c/(a+b))>=( a/(a+c))+(b/(a+b))+(c/(b+c)) 1

(a/(b+c))+(b/(a+c))+(c/(a+b))>=(a/(a+b))+(b/(b+c))+(c/(a+c)) 2

1 ve 2 yi topla cikiyor

Comments

Aynı sıralı kısmında ufak bir hata var sanırım ama çözüm sade ve güzel teşekkürler

Answer 3

Biraz uzun oldu ama bu sefer içime sindi.

Comments

Güzel olmuş Temel Hocam, elinize sağlık

---

Sağ olun Yavuz Hocam. 

Böyle güzel bir konudan, bugüne kadar uzak durduğum için kendime kızıyorum.

Paylaşımlarınız sayesinde konuya olan ilgim arttı. Teşekkürler...

---

Temel hocam benim da eşitsizlik çözmeye başlamam benzer bir şekilde oldu. Yanlış olduğunu düşündüğüm bir sorunun yanlışlığını ispat edemeyince kendime kızıp tüm eşitsizlik konusunu baştan Öğrenmeye karar verdim ve aslında çok keyifli ve de çok kullanışlı bir konuyu bugüne kadar öğrenmediğim için de kendine kızdım. Kolay gelsin

Answer 4

Bkz. https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz_1.pdf sayfa 66, Alıştırma 3.43.

Answer 5

LHS'ye $3=1+1+1$ ekleyelim $$(a+b+c)\cdot\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)\geq\dfrac{9}{2}$$ olduğunu göstermeliyiz, Cauchy-Schwarz uygulayalım $\sqrt{(a+b)},\sqrt{(a+c)},\sqrt{(b+c)}-\sqrt{1/(b+c)},\sqrt{1/(a+c)},\sqrt{1/(a+b)}$ için...

$$\sqrt{2(a+b+c)\cdot\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)}\geq |1+1+1|$$ bu ifadenin karesi alındığında ;

$$(a+b+c)\cdot\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)\geq\dfrac{9}{2}$$ olduğu görülür ve ispat bitmiş olur.

Answer 6

Bir üçgenin kenar uzunlukları $a, b, c$ olmak üzere

$$ \dfrac{3}{2} \leq \dfrac{a}{b+c} +\dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} < 2 $$

dir. Eşitlik durumu yalnızca eşkenar üçgende sağlanır.

 

Bu problem A. M. Nesbitt tarafından 1903'te Educational Times isimli dergiye bir geometrik eşitsizlik olarak gönderilmiştir. Aslında eşitsizliğin bir kısmı herhangi üç $a,b,c$ pozitif gerçel sayısı için de doğrudur. Bu sayfada verilen çözümlere alternatif olarak Cauch Schwartz Eşitsizliği'nin Engel Formu olarak bilinen eşitsizliği kulanarak bir çözüm daha verebiliriz. Eşitsizliğin bu formunu İlham Aliyev (Azerbaycan Cumhurbaşkanı değil, matematik profesörü olan) hocamız olimpiyat kamplarında Faydalı Eşitsizlik ismiyle anlatırdı.

 

$$ T= \dfrac{a}{b+c} +\dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} = \dfrac{a^2}{ab+ac} +\dfrac{b^2}{ab+bc} + \dfrac{c^2}{ac+bc} \geq  \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)} \geq \dfrac{3(ab+bc+ac)}{2(ab+bc+ac)} = \dfrac{3}{2} $$

 

elde edilir. (Son aşamada $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ac)$ eşitsizliğini kullandık.) Eşitlik durumu $a=b=c$ iken vardır.

 

Nesbitt Eşitsizliği'nin diğer kısmını ispatlamak için $a,b,c $ değerlerinin bir üçgenin kenarları olduğu bilgisine ihtiyaç vardır. Simetriden dolayı $a\leq b \leq c$ kabul edebiliriz. $\dfrac{a}{b+c} \leq \dfrac{a}{a+c}$ ve $c < a + b$ olduğundan

 

$$ T <  \dfrac{a}{a+c} + \dfrac{b}{a+c} + \dfrac{a+b}{a+b} = \dfrac{a+b}{a+c} + 1 \leq \dfrac{a+c}{a+c} +1 =2 $$

 

elde edilir. Ayrıca bu $2$ üst sınırı en iyi değerdir. Çünkü $a \to 0^+$ ve $b=c$ limit durumunda $T \to 2$ olmaktadır. Yani $T$'yi $2$'ye istediğimiz kadar yaklaştırabiliriz. Bu sebeple $2$'den daha küçük bir üst sınır yazılamaz.

Answer 7

Adım adım yapacaklarımız şu şekilde:
(1) $1+1+1$ ekleyelim,
(2) $a+b+c$ parantezine alalım ve $2$ ile çarpalım,
(3) $a+b$, $b+c$ ve $c+a$ değerlerini $u$, $v$ ve $w$ gibi görelim,
     aritmetik ortalama ile harmonik ortalama ilişkisini kullanalım.
Tabii yapmamız gereken bu adımları tersten doğru olduğunu göstermek.

Adım 1:
$\dfrac{a}{b+c}+1 +\dfrac{b}{a+c}+1 +\dfrac{c}{a+b}+1 \ge \dfrac{9}{2}$
 

Adım 2:
$(2a+2b+2c)\left(\dfrac{1}{b+c} +\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge 9$

Adım 3:
$\dfrac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{3}\ge\dfrac3{\dfrac{1}{b+c} +\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}} $