Bu sorunun belki daha kısa sayılabilecek çözümü için aşağıdaki bilgilerin bilinmesinde fayda var.
$1\leq i\leq k$ için $p_i$ ' ler asal sayı ve , $r_i$ sayıları doğal sayılar olmak üzere; $n>1$ sayısının asal çarpanlara ayrılmış biçimi ; $n=p_1^{r_1}.p_2^{r_2}.p_3^{r_3}...p_k^{r_k}$ olsun.
$\varphi(n)=(p_1^{r_1}-p_1^{r_1-1})(p_2^{r_2}-p_2^{r_2-1})(p_3^{r_3}-p_3^{r_3-1})...(p_k^{r_k}-p_k^{r_k-1})$ şeklinde tanımlanan fonksiyona Euler Fonksiyonu denir. $\varphi(n)$ sayısı; $n$ den küçük olan ve $n$ ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısıdır. Euler fonksiyonunun tanımından $\varphi(1)=1$ olduğu ve $p$ asal bir sayı ise $\varphi(p)=p-1$ olduğu açıktır.
Euler Teoremi: $ OBEB(a,n)=1 $ ise $a^{\varphi(n)}=1(modn)$ dir.
Yukarıdaki bilgiler ışığında soruyu çözmeye çalışalım.
$2017^{2001}=17^{2001}\equiv x(mod1000)$ olup,
$OBEB(17,1000)=1$ ve $\varphi(1000)=\varphi(2^3.5^3)=(2^3-2^2)(5^3-5^2)=400$ olduğu için; $17^{400}=1(mod1000)\Rightarrow 17^{2000}=1(mod1000)\Rightarrow 17^{2001}=17(mod1000)$ olacaktır.