$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\dfrac{\sin 1+2\sin \frac{1}{2}+\cdots+n\sin \frac{1}{n}}{n}$
Şöyle bir teorem var ,
$a_n\xrightarrow[n\to\infty]{} a\implies \frac{a_1+...+a_n}n\xrightarrow[n\to\infty]{}a$
Dolayısıyla , tüm limite şöyle yapıyoruz,
$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{\sin 1+2\sin \frac{1}{2}+\cdots+n\sin \frac{1}{n}}{n}=\lim\limits_{n\to \infty}n\sin \dfrac{1}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{sin(1/n)}{1/n}=1$
Güzel ,
$a_n\xrightarrow[n\to\infty]{} a\implies \frac{a_1+...+a_n}n\xrightarrow[n\to\infty]{}a$
bu teoremi nasıl ispatlarız?
Bana hissettirdiği duygu aynen şöyle,
Diziler yakınsak ise ,genel terim indisi sonsuza giderken yakınsar, dolayısıyla sonsuz teriminden belli bir grup çıkartsan veya değiştirsen dahi ,topladıgındaki sonuç değişmez(sonsuzlukla karşılaştırma) dolayısıyla o kadar sayıya da bölersen , aritmetik ortalmasını yani ,yakınsadığı değeri ,yani dizide ismi en çok geçen sayıya ulaşırsın, yanlış mı anlamışım ve cebirsel(formâl) ispatı nedir?