Sorunun çözümünde $\sin x>0$ varsayacağız.
\[
\frac{\sin nx}{\sin \left( n+1\right) x}=\frac{1}{\sin x}\frac{1}{\cot x+\cot nx}
\]
olduğuna dikkat edelim.
$k$ tam sayısı $k\pi <-x<\left( k+1\right) \pi $ olacak şekilde seçilsin. Bu durumda
$k<\frac{-x}{\pi }<k+1$ dir. $t=\frac{-x}{\pi }-k>0$ koyalım. $\ \frac{x}{\pi }\mathbb{\ }$
irrasyonel olduğundan $D=\left\{ a+b\frac{x}{\pi }:a\in \mathbb{Z}\text{, }b\in \mathbb{N}\right\} $ kümesi
$\mathbb{R}$ de yoğundur. O halde
\[
-\frac{t}{n}<a_{n}+b_{n}\frac{x}{\pi }<0
\]
olacak şekilde $\left( a_{n}\right) \subset \mathbb{Z}$, $\left(b_{n}\right) \subset \mathbb{N}$ alt dizileri vardır.
\[
k<-\frac{t}{n}-\frac{x}{\pi }<a_{n}+\frac{\left( b_{n}-1\right) x}{\pi }<
\frac{-x}{\pi }
\]
\[
k\pi <-\frac{t\pi }{n}-x<a_{n}\pi +\left( b_{n}-1\right) x<-x
\]
\[
-\cot \left( \frac{t\pi }{n}+x\right) >\cot k_{n}x>-\cot x\Longrightarrow
\cot x-\cot \left( \frac{t\pi }{n}+x\right) >\cot x+\cot k_{n}x>0
\]
olur. Sonsuz sayıda $n$ için $b_{n}>1$ dir. Böyle $n$ ler için $k_{n}=$ $b_{n}-1$ koyacak olursak
\[
\frac{\sin k_{n}x}{\sin \left( k_{n}+1\right) x}=\frac{1}{\sin x}\frac{1}{
\cot x+\cot k_{n}x}\Longrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin
k_{n}x}{\sin \left( k_{n}+1\right) x}=\infty
\]
olur. Dolayısıyla $\lim \sup_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin nx}{\sin
\left( n+1\right) x}=\infty $ dur. $\sin x<0$ olması durumunda $\left(
a_{n}\right) \subset \mathbb{Z}$, $\left( b_{n}\right) \subset \mathbb{N}$
dizileri $0<a_{n}+b_{n}\frac{x}{\pi }<\frac{t}{n}$ olacak şekilde seçilirse gene ayni sonuç elde edilir.