Eşitsizlik-Kökler arasındaki ilişki

Question

$f(x)=x^2-4x-2$ olmak üzere,

$f(x)=0$ denkleminin kökleri $X1$ ve $X2$'dir.

$X1<n<X2$ olduğuna göre,

$I. f(X1X2)<0$

$II. f(n)<0$

$III.f(X1+X2)>0$

ifadelerinden hangileri doğrudur?

ben önce bu eşitsizlikte 3 taraftan da $n$ çıkarttım.Daha sonra bulduğum eşitsizlikte sıfırın sağ ve solundakileri çarpıp bunların çarpımlarının negatif olduğunu yazdım,herhangi bir işe yarar bilgi gelmedi.Buradaki $n$ sayısının ne olduğu ve ne işe yaradığı hakkında pek bir yorum da yapamadım açıkçası.(Sanırsam yaygın olmayan bir soru kalıbı.Sadece tek bir kitapta,tek bir örnek olarak buldum fakat çözümünde nasıl bir mantık uygulayabileceğimi bulamadım.)

Answer 1

$$f(x)=(x-x_1)(x-x_2)$$ olarak yazarsak $$x_1+x_2=4 \;\;\text{ ve }\;\; x_1x_2=-2$$ olur. Bu nedenle $$f(x_1x_2)=f(-2) \;\;\text{ ve } \;\; f(x_1+x_2)=f(4)$$ degerlerini fonksiyona/polinoma koyarak direkt bulabilirsin.

$x_1<n$ ise $$n-x_1>0$$ ve $n<x_2$ ise $$n-x_2<0$$ olur. Bu nedenle $x_1<n<x_2$  (Burada $x_1$'i kucuk kok kabul etmis olduk, zaten kokler de farkli oldugundan arada bir $n$ reel sayisi her zaman vardir) icin $$f(n)=(n-x_1)(n-x_2)<0$$ olur.

Comments

Teşekkürler Sercan hocam.