(a) şıkkını inceleyelim:
$(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzay ve $A=(0,1)\subseteq\mathbb{R}$ olsun. O halde,
$A,\theta$-kompakt olmasına karşın (Neden?) $A,\mathcal{U}$-kompakt olmadığından (Heine-Borel teoremi gereğince) söz konusu önerme yanlıştır.
Şimdi (Neden?) sorusunu açalım:
$A,\theta$-kompakt olmadığını varsayalım ve $\mathcal{A}=\{(-n,n):n\in\mathbb{N}\}\subseteq\mathcal{U}$ olsun. $A,\theta$-kompakt olmadığına göre
$$(\exists \mathcal{A} \subseteq \tau) \big{[}A\subseteq \cup\mathcal{A} \wedge(\forall \mathcal{A^{*}}\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A^{*}}|\ge\aleph_{0})(A\not\subseteq (\cup\{\overline{U} :U\in\mathcal{A^{*}} \})^\circ) \big{]}$$
önermesi doğru olur. Bu önerme her $\mathcal{A}^{*}$ alt ailesi için doğru olduğundan özel olarak
$$\mathcal{A}^{*}:=\mathcal{A}=\{(-n,n):n\in\mathbb{N}\}$$
ailesi içinde doğru olur. Buradan da
$$A=(0,1)\subseteq(\cup\{\overline{U} :U\in\mathcal{A^{*}} \})^\circ=(\cup\{[-n,n] : n\in\mathbb{N} \})^\circ$$
çelişkisini elde ederiz. O halde varsayımımız yanlıştır. Yani $A,\theta$-kompakt olur.