İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Question

Soracağım soru için ilk önce bir tanım vermem gerekecek.

TANIM : $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık, bu noktaları sağlayan spesifik bir fonksiyon üzerinde $A$ dan $B$ ye gidilmesi için kat edilen mesafedir.
 

SORU : $f(x)$ bir polinom fonksiyon olsun(Yani yukarıda bahsedilen spesifik fonksiyonumuz $f$ fonksiyonu.). Fonksiyon üzerindeki herhangi $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık nasıl bulunur. ( $A$=($x_a$,$y_a$), $B$=($x_b$,$y_b$) olarak alınabilir.)


NOT : Yukarıda sorduğum soru genel çözüm üzerine ama örneğin ikinci dereceden bir fonksiyon için de verilen cevaplar kabul.


NOT 2 : Tanım anlaşılmadıysa tanımı daha anlaşılır kılmak adına fiziksel bir anlayışla yaklaşabiliriz. Aslında sorulan şey yörünge uzunluğu. (Yerdeğiştirme değil.). Tabii yörünge ile yerdeğiştirme arasındaki farkı bildiğinizi varsayıyorum.

Comments

Soruyu yazarken araya boşluklar koymuştum ama nedense burada içiçe gözüküyor. Yada sadece bendemi böyle bilmiyorum.

---

Düzenledim, iyi calısmalar.

---

Sonıyorum $A$ ile $B$ noktaları arasındaki yay uzunluğunu soruyorsunuz?

$\text{Yay uzunluğu}=\int_{x_a}^{x_b}\sqrt{1+[f'(x)]^2} dx$    dir. Örneğin  $f(x)=\frac 23(x-1)^{\frac 32}$ fonksiyonu için $A(2,\frac 23),\quad B(5,\frac{16}{3})$ noktaları arasındaki yay uzunluğu :

$\int_{2}^{5}\sqrt{x} dx$    ile hesaplanır.

Answer 1

Şekildeki $f$ fonksiyonunun integrasyonunu Riemann toplamı ile

$\displaystyle \int \limits_a^b f(x)dx=\lim_{n\to\infty} \frac{b-a}{n} \sum _{k=1}^n f(a+k\frac{b-a}{n})$

şeklinde yazabileceğimizi biliyoruz. Peki bunun konumuzla ne alakası var? Birazdan bu tanımla hareket edeceğiz.

Bu şekildeki kırmızı çizgiler ise herhangi bir $k$ pozitif tamsayısı için $\left(a+(k-1)\frac{b-a}{n},f\left(a+(k-1)\frac{b-a}{n}\right)\right)$ ile $(a+k\frac{b-a}{n},f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right))$ noktaları arasındaki doğru. $n$ sonsuza ıraksadığında fonksiyona o kadar yakın olacak ki bize fonksiyonun gerçek uzunluğuna çok yakın bir değer verecek.

Burada kırmızı çizgilerin uzunluklarının toplamını bulmak isteyecek olursak

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \sqrt{\left(\frac{b-a}{n}\right)^2+\left(f\left(a+(k-1)\frac{b-a}{n}\right)-f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)^2\right)}\\\displaystyle =\lim_{n\to\infty} \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n \sqrt{1+\left(\frac{f\left(a+(k-1)\frac{b-a}{n}\right)-f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)}{\frac{b-a}{n}}\right)^2}$

olarak ifade edebiliriz.

$\displaystyle g\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)=\sqrt{1+\left(\frac{f\left(a+(k-1)\frac{b-a}{n}\right)-f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)}{\frac{b-a}{n}}\right)^2}$

olarak düşünürsek, yukarıdaki ifadenin $\displaystyle \int_a^b g(x)dx$ olduğunu görmek kolay.

Son olarak, $n$ sonsuza ıraksarken

$\frac{f\left(a+(k-1)\frac{b-a}{n}\right)-f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)}{\frac{b-a}{n}}=-f'\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)$

olduğunu da görebilirsek

$g(x)=\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}$

eşitliğini elde ederiz. O halde, fonksiyon üzerinden gidersek yolumuzun uzunluğunu

$\displaystyle \int_a^b \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}dx$

olarak bulabileceğimizi göstermiş oluruz.