Çembersel yörüngelerde, hareket süresince merkeze doğru olan merkezcil ivmenin $\overrightarrow a=\dfrac{\overrightarrow {v}^2}{r}$ olduğunu gösterip ispat ediniz.

Question

İspatın bir kaç yolu mevcut.

Vektör diyagramı çevresi için alınan yol zaman mantığı,

Trigonometri kullanarak koordinatları atama...

Comments

Elips olunca $r$ ne olacak?

---

$r(t)$ cinsinden bir eşitlik olucak.Elips olunca $r_i$ lerin birbirine her zaman eşit olmadığı bariz diye eklemedim ama elipsle ilgili bir görsel eklıyorum hemen.

---

ve bellı bır merkez yok , dedıgınız noktayı anladım duzeltıyorum.

---

Tamam hocam duzelttım ayrıca bu uyarınızdan guzel 1-2 soru cıkıcak gıbı.

---

Düzeltme önerisi: $\overrightarrow v^2$ skaler çarpımda (adı üstünde) "skaler" çıkacağından, vektörel çarpımda da $0$ çıkacağından hiçbir zaman $\overrightarrow a$ olmuyor sanki.

Answer 1

Hızın büyüklüğü değişmediğinden,

$|\vec{v_1}|=|\vec{v_2}|=|\vec{v}|$ yazılabilir.

Ortalama ivme,

$a_{ave}=\dfrac{\vec{v_2}-\vec{v_1}}{t_2-t_1}=\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ (1)

Benzer şekilde,

$t_1$ ve $t_2$ anlarındaki yarıçap ve hız değişimini çizersek,

$\dfrac{\Delta v}{v}=\dfrac{\Delta r}{r} \Rightarrow \Delta v=\dfrac{v}{r} \Delta r$ (2)

2. eşitlikteki $\Delta v$'yi 1. eşitlikte yazarsak,

$\vec{a}=\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\left (  \dfrac{v}{r} \Delta r \right )\dfrac 1 {\Delta t}$

$\dfrac{\Delta r}{ \Delta t}=v$ olduğundan,

$\vec{a}=\dfrac{\vec{v}^2}{r}$

Answer 2

Yukarıdaki şekildeki gibi, orijinden kütleye doğru çizilen vektörün esas açısı $\theta$ olsun. Bu durumda hız vektörü $\overrightarrow v=|\overrightarrow v|(-i\sin\theta+j\cos\theta)$ olur. Burada şu hesabı yapalım.

$\overrightarrow a.dt=d \overrightarrow v$ (1)

$d\theta=\omega. dt$ (2)

2. denklemdeki $\theta$ taranan açıdır. Bu durumda 1 ve 2 numaralı eşitlikleri taraf tarafa çarparsak 

$ \overrightarrow a.d\theta=\omega.d \overrightarrow v$ (3)

eşitliğini elde ederiz. 3 numaralı eşitliği düzenlersek

$\displaystyle \overrightarrow a=\omega\frac{d \overrightarrow v}{d\theta}=\omega|\overrightarrow v|(-i\cos\theta-j\sin\theta)$ (4)

buluruz. 

$\omega=\frac{|\overrightarrow v|}{r}$ (5)

olduğunu göz önünde bulundurup 4 numaralı denklemde yerine koyarsak

$\overrightarrow a=\frac{|\overrightarrow v|}{r}|\overrightarrow v|(-i\cos\theta-j\sin\theta)=\frac{|\overrightarrow v|^2}{r}(-i\cos\theta-j\sin\theta)$ (6)

olduğunu rahatlıkla görebiliriz. 6. ve son denklemden çıkan sonuç, ivme konum vektörüne ters yönde (yani merkeze doğru) ve büyüklüğü yukarıda ispatlanması istendiği gibi

$\displaystyle a=\frac{v^2}{r}$

olur.

Comments

5. eşitlik doğru olsa da bana biraz acemice görünüyor, yani vektörel olarak da yazılabilirdi sanırım. Ama henüz o seviyede bilgim olmadığından bu gösterimi tercih ettim.