$\log _{4x}2x=m$ ise $log_x2$ ifadesinin m cinsinden değeri kaçtır?
Sağdakinin tabanını 4x yaparak yazmaya çalıştım , $4x^m=2x$ vs. dedim fakat soru için herhangi bir çıkış noktası bulamadım.(Normalde bu tip sorularda taban eşitleyince hemen çıkardı.Fakat bunda neden böyle oldu bir fikrim yok:))
Cevaplara ek olarak: Aslinda $m=1/2$ durumunu da incelemek gerekebilir.
$(4x)^m=2x$
$2^{2m}.x^m=2.x$
ise $2^{{2m}-1}=x^{1-m}$ her iki tarafın $\frac{1}{1-m}$ üssünü alırsak
$x=2^\frac{2m-1}{1-m}$ olarak bulunur
$log_x2=\frac{1-m}{2m-1}$ dir
Elinize sağlık.
Güzel başlangıç;Ama $4x^m=2x$ değil;$$(4x)^m=2x$$ve$$\log_x2=u$$ dersek,$$4^mx^m=2x\quad\to\quad x^{m-1}=\dfrac2{2^{2m}}$$logaritma tabanına uygularsak,$$\log_x\left(\dfrac{2}{2^{2m}}\right)=\log_x2-2m\log_x2=m-1$$$\log_x2=u$ oldugundan;$$u-2mu=m-1$$sadeleştirirsek;$$u=\dfrac{m-1}{1-2m}$$
Bu çözüm de gayet güzelmiş.Fakat değişken değiştirmek yerine yukarıdaki yoldan gidilse daha kısa gibi.Fakat bu yol da aynı şekilde güzel bir yol.
Taban değiştirme ile,
$$\frac{log(2x)}{log(4x)}=m\Rightarrow mlog(4x)=log(2x)$$
$$mlog4+mlogx=log2+logx$$
$$mlogx-logx=log2-2mlog2$$
$$(m-1)logx=(1-2m)log2$$
$$\frac{m-1}{1-2m}=\frac{log2}{logx}\rightarrow \frac{m-1}{1-2m}=log_x2$$
Cevabınız için teşekkür ederim hocam.
Önemli değil. Kolay gelsin.