Doğal logaritma fonksiyonunu sadeleştirmek

Question

 Lisans 1'de öğrenciler şöyle sadeleştirme yapıyorlar:
$ln(x) = ln(y) \implies x = y$.
 Bu ara geçişte $ln(x) = ln(y) \implies e^{ln(x)} = e^{ln(y)} \implies x = y$ diye belirtmek önemli değil mi, yoksa boşuna mı kuruntu yapıyorum? Çünkü bazıları fonksiyon bileşkesi aldığının farkında değil.

Comments

merhaba 

durumu şöyle yorumlayabilir miyiz?

lnx fonksiyonu devamlı artan bir fonksiyon. (Türevi, tanımlı olduğu değerler için pozitif değerli) Dolayısıyla bire bir bir fonksiyon. Eğer lnx=lny ve fonksiyon 1-1 ise x=y direkt olarak diyebiliriz (sanırım) Dediğiniz şekilde bir bileşke işlemine girmeden böyle düşünebilir miyiz?iyi çalışmalar...

---

$\ln$  artan bir fonksiyon. Bu nedenle esit olmali. Turevi $>0$.

Ayrica $e$'nin tersi oldugunu kabul etmek daha buyuk bir kabul. Cunku birebir oldugunu kabul etmis oluyoruz. Zaten bu da bize hemen esitligi veriyor.

Artan ise birebir, birebir ise artan olmak zorunda degil.

Soruyu gormek lazim bence. Soru eger $\ln x=\ln y$ ise $x=y$ oldugunu gosterin diyorsa.. Bu durumda da neler ogrendigini ve neyi bilerek cozmeleri gerektigini gormek lazim.

---

Ayrica $$\ln x=\int_1^x\frac{dt}{t}$$ tanimini kullanirdak da bunu hemen ispatlayabiliriz.

---

 Yapılan şey şu: 
$ln(x^2)=ln(\cfrac{a^2b}{c^5}) \implies x^2 = \cfrac{a^2b}{c^5} $.

---

Bence sorun yok gibi. Ek aciklamalar guzelldir. Sadece "$\ln$ artan (ya da birebir) oldugundan" denilirse guzel olur. 

---

Öğrenciler matematik bölümünden olsa ısrar ederdim ama değiller. O zaman böylece bırakalım, teşekkürler.

---

$$x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y)$$ önermesi ile $$ f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$$ önermesi birbirine denktir. Bu iki önerme birbirinin karşıt tersidir. Bu önermelerden birinin doğru olması ise $f$ fonksiyonunun birebir olması anlamına geliyor. O halde şöyle denebilir: $$f(x)=\ln x$$ kuralı ile verilen $$f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu birebir (neden birebir olduğu ayrıca izah edilebilir) olduğundan $$f(x)=f(y)$$ ise yani $$\ln (x)=\ln (y)$$ ise $$x=y$$ olur.