$(\mathbb{R},\leq)$ kümesi nasıl tam sıralı olabiliyor?

Question

$Tanım: (X,\leq)$  kısmi sıralı bir küme olsun.

 

$\forall x,y\in X$  için  $x\leq y$  veya  $y\leq x$  ise  $(X,\leq)$'ye tam sıralı küme denir.

............................................................................................................................................

$(\mathbb{R},\leq)$ kümesinin tam sıralı küme olmasıyla alakalı bir sorum olacak.

 

$\pi\in\mathbb{R}$ ve şu an için $\pi$'nin virgülden sonraki 2 katrilyonuncu basamağı bulundu (güncel olmayabilir) ve diyelim ki o basamaktaki sayı $3$ olsun.  $x=3.14159265...35$  şeklinde bir reel sayı alalım. $x$ sayısının da virgülden sonraki 2 katrilyon basamağı $\pi$ sayısıyla aynı olsun ve 2 katrilyon birinci basamağı da $5$ olsun. Yani;

 

$\pi=3,\underbrace{14159265\cdots3}_{A}?$                   $\Rightarrow$                    $x=3,\underbrace{14159265\cdots3}_{A}5$

 

Bu durumda $x$ sayısı mı daha büyük $\pi$ sayısı mı nasıl tespit ediyoruz da $(\mathbb{R},\leq)$ kümesine tam sıralı diyebiliyoruz?

 

Genel olarak sorum; değerini tam olarak bilmediğimiz sayıları içeren reel sayılar kümesi için nasıl oluyor da her ikili karşılaştırılabilir diyebiliyoruz?

Comments

$x$ sayısının tüm basamakları verilmediğine ($x$ sayısının ne olduğu tam belirtilmediğine) göre  bu ki sayıyı karşılaştırmak imkansız. Sorun $\mathbb{R}$ den değil, bizden kaynaklanıyor. 

Soru şuna benziyor :

(Tam olarak ne olduğu bilinmeyen bir) $x$ sayısı için $x>1$ midir?

(yani sorun $\pi$ nin bilinmemesi değil, $x$ in tam olarak ne olduğunun belirtilmemesi)

---

hocam sanırım kendimi tam olarak ifade edemedim belki de bu sayıya $x$ demek bir hata çünkü bildiğimiz bir sayı. Bu sayıya $x$ demek yerine direk $3,14159265...35$ diyelim. Bu net olarak bilinen sayıyla net olarak bilinmeyen (henüz 2 katrilyonuncu basamağını bildiğimiz) $\pi$ sayısını nasıl karşılaştırabiliriz?

---

Ben de soruyu tam anlamamışım galiba.

Şöyle düşünsek:

$\pi$ nin o basamağı bir zaman sonra hesaplanacak ve o zaman bileceğiz. 

Zaman meselesi sadece.

---

Bir sayinin gercel oldugunu gercel sayilarin aksiyomu ile soyleyebiliriz. Sayiyi bilmeye gerek yok. Mesela asal sayilarin yanyana yazildigi sayi $0.23571113\cdots$.

1) Bu sayi gercel. (Neden?) 
2) Asal sayilari bilmedikce bu sayinin basamaklarini bilemeyecegiz.
Ornegin: $0.123456789101112131415\cdots$ sayisinin basamaklarindaki sayilari bulabiliriz. Fakat usttekinde bulamayiz.
3) Bu  $0.123456789101112131415\cdots$ sayisi basamaklarinda her dogal sayiyi barindiriyor.  Asal sayilari bilmesek bile (onemli) $0.23571113\cdots$ sayisi da icerisinde her dogal sayiyi barindiriyor. Fakat $\pi$'nin bu ozelligi saglayip saglamadigini bile bilmiyoruz. (Irrasyonelligin bunu gerektirmedigini de belirteyim: $0.101001000100001\cdots$ sayisini dusunebiliriz).

Yani gercel demek ne oldugunu tam olarak bilecegiz demek degil. $\sqrt2$'yi de dusunebiliriz. Ne oldugunu tam bilmesek de hakkinda bazi ek fikirler bilemeyecegiz de degil. 

Olaya hangi manayi yukluyoruz gozuyle bakarsak isler daha iyi anlasilir. (diye dusunuyorum).

---

@Sercan $\pi$'nin gerçel sayı olmasını anlayabiliyorum ki zaten sorum o değil. Sorum; nereye gittiği belli olmayan sayıyla tüm sayıların arasında kıyas yapılabilecek olması ama sanırım pek anlaşılır soramamışım. @DoganDonmez hocama açıklaması için teşekkür ediyorum. Zaman kavramından kaynaklı olabileceği aklıma gelmişti aslında ama ikna edici bir cevap olarak düşünmediğim için burada da paylaşmak istedim.

---

Bizim hangisi olduğunu bilmememiz, bir tanesinin büyük (ya da eşit) olacağı anlamına gelmiyor.  Reel sayıları geçelim, tam sayılara bakalım. Senin sorduğun sorunun bir benzeri tam sayılar için de sorulabilir. $x=10^{17,425,171}$ olsun. Bu sayı, şu an için bilinen en büyük asal 17425170 basamaklı olduğu için bilinen en büyük asal $P$'den büyük. Peki $P$'den bir sonra gelen asaldan büyük mü küçük mü, işte bunu bilmiyoruz. Ama bunlardan birisi diğerinden büyük, bundan eminiz. Yanıtın ne olduğunu bilmememiz, bir yanıt olmadığı anlamına gelmiyor (bu son cümle her zaman doğru olmayabilir, bazı soruların istenilen tipte bir yanıtı olmayabilir elbette).