Aslinda istenen farkin integrali: $$P_1(x)-P_2(x)=P_3(x)$$ olsun. Burada $P_1$ ustteki egri, $P_2$ alttaki egrinin ikinci dereceden denklem kisimlari ve $P_3$ de bunlarin farki.
Simdi bu $P_3$ de ikinci dereceden bir polinom olsun (olmak zorunda degil: bas kat sayilari esitse). Bu durumda $$P_3(x)=ax^2+bx+c$$ formunda olacak. ($a<0$ olmali, cunku alanin pozitif olabilmesi icin kollar asagi dogru olmali). Eger biz $P_1$ ve $P_2$'nin arasinda kalan bir alan bulmak istiyorsak $P_1$ ve $P_2$ iki noktada kesismeli. Bunlara $x_0$ ve $x_1$ diyelim.
Bu $x_0$ ve $x_1$ aslinda $P_3$ polinomunun kokleri. O zaman $$P_3(x)=a(x-x_0)(x-x_1)$$ olarak yazalim ve kucuk koku $x_0$ olarak dusunelim.
Bizden istenen tam olarak $$\int_{x_0}^{x_1} (ax^2+bx+c)dx=\left[\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx\right]_{x=x_0}^{x=x_1}$$degeri.
Bu fomule daha kolay ulasmak icin su esitligi kullanalim: $$ax^2+bx+c=a\left( x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left( c-\frac{b^2}{4a}\right)=a\left( x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$$$$=a\left( x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}$$ olur.
$-b/(2a)$ degerinin $x_0$ ile $x_1$ noktasinin ortasindaki nokta oldugunu hatirlayalim ve bu noktanin sag ve solundaki alanin esit olacagini...
Bu durumda $$\int_{x_0}^{x_1} (ax^2+bx+c)dx=2\int_{-\frac{b}{2a}}^{x_1} (ax^2+bx+c)dx=2\int_{-\frac{b}{2a}}^{x_1}\left(a\left( x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}\right)dx$$$$=2\left[\frac{a}{3}\left(x+\frac{b}{2a}\right)^3-\frac{\Delta}{4a}x\right]_{x=-b/(2a)}^{x=x_1}=\frac{2a}{3}\left(x_1+\frac{b}{2a}\right)^3-\frac{\Delta}{2a}\left(x_1+\frac{b}{2a}\right)$$$$=\frac{2a}{3}\left(x_1+\frac{b}{2a}\right)\left[\left(x_1+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{3\Delta}{4a^2}\right]$$ olur.
$x_1$ bu ikinci dereceden denklemimizin buyuk olan koku oldugundan (yukaridaki esitlik ile) $$a\left( x_1+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}=0$$ olur, yani $$x_1+\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$$ olur. ($a$'nin negatif oldugunu hatirlayalim. Bu durumda $-$'li olan daha buyuk olur).
Bu ifadeyi yukaridaki buldugumuz integral degeri icine yazarsak $$\frac{2a}{3}\left(x_1+\frac{b}{2a}\right)\left[\left(x_1+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{3\Delta}{4a^2}\right]=\frac{2a}{3}\cdot \frac{-\sqrt{\Delta}}{2a}\left[\left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2-\frac{3\Delta}{4a^2}\right]=\frac{\Delta\sqrt\Delta}{6a^2}$$ olur.
Soru: Eger bas katsayilari esit olsaydi integral degeri ne olurdu?