Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
520 kez görüntülendi

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar olmak üzere

$$(A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow \overline{A\times B}=\overline{A}\times \overline{B}$$ olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 520 kez görüntülendi

Bu linkteki bilgiden faydalanabilirsiniz.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\left.\begin{array}{rr} (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow \left(A\subseteq\overline{A}\right)\left(B\subseteq \overline{B}\right)\Rightarrow A\times B\subseteq \overline{A}\times \overline{B}\Rightarrow \overline{A\times B}\subseteq \overline{\overline{A}\times \overline{B}} \\ (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow \left(\overline{A}\in C(X)\right)\left(\overline{B}\in C(Y)\right)\overset{?}{\Rightarrow} \overline{A}\times \overline{B}\in C(X\times Y)\Rightarrow \overline{\overline{A}\times \overline{B}}=\overline{A}\times \overline{B} \end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow \overline{A\times B}\subseteq \overline{A}\times \overline{B} \ldots (1) $

$--------------------------------------$

$\left.\begin{array}{rr} \left.\begin{array}{rr} \pi_1:X\times Y\to X \,\ (\tau_1\star\tau_2\mbox{ - }\tau_1) \text{ sürekli} \\ (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow A\times B\subseteq X\times Y\end{array}\right\}\Rightarrow \pi_1\left[\overline{A\times B}\right]\subseteq \overline{\pi_1[A\times B]}=\overline{A} \\ \\ \left.\begin{array}{rr} \pi_2:X\times Y\to Y \,\ (\tau_1\star\tau_2\mbox{ - }\tau_2) \text{ sürekli} \\ (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow A\times B\subseteq X\times Y\end{array}\right\}\Rightarrow \pi_2\left[\overline{A\times B}\right]\subseteq \overline{\pi_2[A\times B]}=\overline{B} \end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow \overline{A\times B} \overset{?}{\subseteq}\pi_1\left[\overline{A\times B}\right]\times \pi_2\left[\overline{A\times B} \right]\subseteq \overline{A}  \times \overline{B} \ldots (2)$

$--------------------------------------$

$$(1),(2)\Rightarrow \overline{A\times B}=\overline{A}\times\overline{B}.$$

Not : Kanıttaki ilk soru işaretinin olduğu yerdeki geçişin gerekçesine buradaki linkten ulaşılabilir. Kanıttaki ikinci soru işaretinin olduğu yerdeki geçişin gerekçesine ise  buradaki linkten ulaşılabilir. 

(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,281 soru
21,818 cevap
73,492 yorum
2,495,890 kullanıcı