Topolojik uzaylarda kompakt bir küme ile kapalı bir kümenin arakesitinin kompakt olduğunu gösteriniz.

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A,B\subseteq X$ olmak üzere

$$(A, \ \tau\text{-kompakt})(B\in \mathcal{C}(X,\tau))\Rightarrow A\cap B, \ \tau\text{-kompakt}$$

olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\mathcal{A}\subseteq \tau$  ve  $A\cap B\subseteq \cup\mathcal{A}$ yani $\mathcal{A}$ ailesi, $A\cap B$  kümesinin bir $\tau$-açık örtüsü olsun.

$\left.\begin{array}{r} (\mathcal{A}\subseteq \tau)(A\cap B\subseteq \cup\mathcal{A}) \\ \\ B\in \mathcal{C}(X,\tau)\Rightarrow \setminus B\in \tau \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{r} (\mathcal{B}:=\mathcal{A}\cup\{\setminus B\}\subseteq \tau)(A\subseteq \cup \mathcal{B}) \\ \\ A, \ \tau\text{-kompakt} \end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists \mathcal{B}^*\subseteq\mathcal{B})(|\mathcal{B}^*|<\aleph_0)(A\subseteq \cup\mathcal{B}^*) \\ \\ (A\cap B\subseteq A) ((A\cap B)\cap (\setminus B)=\emptyset) \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists \mathcal{A}^*\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)(A\cap B\subseteq \cup\mathcal{A}^*).$