İki değişkenli fonksiyonlarda sürekliliğe dair

Question

$$f(x,y)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y^2)^2} & , & (x,y)\neq (0,0) \\ \\ 0 & , & (x,y)=(0,0) \end{array} \right.$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$$ fonksiyonu $(0,0)$ noktasında sürekli midir? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Answer 1

Eğer $(0,0)$ noktasına $y=0$ doğrusu üzerinden yaklaşırsak $$\lim_{x\to 0} \frac{0}{0 + x^2} = \lim_{x \to 0} 0 = 0$$ elde ederiz.

Eğer $(0,0)$ noktasına $y^2=x$ egrisi üzerinden yaklaşırsak $$\lim_{y\to 0} \frac{y^4y^2}{y^4y^2 + 0} = \lim_{y \to 0} 1 = 1$$

elde ederiz. Yani, fonksiyonun bu noktada limiti bile yoktur. Sürekli olamaz.

Answer 2

Özgür'ün yanıtı gayet net. Ben birkaç hususa dikkat çekmek için sorduğum bu soru için bazı hususlara değinmek istiyorum.

 

1) Önce ardışık limitlere bakalım. Yani $(0,0)$ noktasına $x=0$ ve $y=0$ doğruları boyunca yaklaşalım.

$$\lim\limits_{x\to 0}\left[\lim\limits_{y\to 0}\left(\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y^2)^2}\right)\right]=0$$ ve

$$\lim\limits_{y\to 0}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y^2)^2}\right)\right]=0$$ elde edilir. Ama bu bize limitin $0$ olduğunu garanti etmez.

 

2) İkinci olarak $(0,0)$ noktasına $y=mx$ doğrusu boyunca yaklaşalım.

$$\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{x^2m^2x^2}{x^2m^2x^2+(x-m^2x^2)^2}\right)=0$$ elde edilir. Bu da bize limitin $0$ olduğunu garanti etmez.

 

3) Üçüncü olarak da $$x=r\cos \theta, \ y=r\sin \theta$$ dönüşümü yaparak kutupsal koordinatlara geçelim. Bu durumda da 

$$\lim\limits_{r\to 0}\left(\frac{r^2\cos^2\theta \cdot r^2\sin^2\theta}{r^2\cos^2\theta \cdot r^2\sin^2\theta +(r\cos \theta -r^2\sin^2\theta)^2}\right)=0$$ elde edilir. Ama bu da limitin $0$ olduğunu garanti etmez.

 

4) Dördüncü olarak da Özgür'ün de gösterdiği gibi $(0,0)$ noktasına $x=y^2$ eğrisi boyunca yaklaşırsak

$$\lim_{y\to 0} \frac{y^4y^2}{y^4y^2 + 0} = \lim_{y \to 0} 1 = 1$$ olup yukarıdaki üç yaklaşımdan farklı bir sonuç verdiğini görürüz. Lisans öğrencileri çoğu zaman ilk üç duruma bakıp sonuçlar aynı çıktığında da limit budur diyerek düştükleri bir hataya dikkat çekmek için paylaşılan bu örneğin güzel bir örnek olduğu kanısındayım.