Sadece $1$ ve $0$'lar kullanılarak en fazla $8$ basamaklı tüm sayılar yazılıyor. Bunu göre yazılan tüm sayılarda kaç kez $1$ rakamı kullanılmıştır?

Question

Merhabalar;

$\text{Soru:}$

Sadece $1$ ve $0$ rakamları kullanılarak en fazla $8$ basamaklı tüm sayılar yazılıyor. Buna göre yazılan tüm bu sayılarda $1$ rakamı kaç kez kullanılmıştır?

$\text{Denediklerim:}$

En fazla $8$ basamaklı dediği için $0$'ın konumunu düşünmeden $2^8$ tane bu şekilde sayı vardır diye düşündüm. Ancak buradan sonra $1$ sayısının kaç kere denk geldiğini bulmak için aklıma pek yaratıcı bir şeyler gelmedi. 

Belki $1.$ basamaktan $8.$ basamağa kadar $1$'lerin sayısını bularak bir dizi oluşturabilirim diye düşündüm, ama genel terimi bulabileceğim açık bir hal aldıramadım ve çok uzun geldi.

Kitabımdaki çözümde ise her $x$ sayısına $11111111-x$ sayısı denk getirilmiş ve $(x,11111111-x)$ sayı çiftlerinin sayısı ondan sonra da bu sayı çiftlerindeki $1$ sayısının $8$ olduğu söylenerek $8\cdot 128=1024$ bulunmuş. Ben buradaki mantığı tam olarak anlamadım. Neden $x$'e $11111111-x$ sayısını denk getirdik? (Kitabımda da fazla açılmamış konunun mantığı, hatta genel olarak çözümlerin pek çoğu böyle:()

Comments

Toplamda $8\cdot2^8$ basamak var. Yarısı sıfır yarısı bir.

---

Cevap da diyor ki elemanları ikişerli gruplara ayırabiliriz ve toplamlarında 8 tane 1 olur.

---

Anladım, yani direk $2^8$ seçim yapabiliriz ve $8$ basamak var dedik oradan $8\cdot 2^8$ tüm durumlar olur yarısı $0$ yarısı $1$ olurdan $8\cdot 2^7=1024$ (Biraz yorumunuzu tekrar etmiş gibi oldum ama:)) O zaman bu $(x,11111111-x)$ olayına gerek yoktu değil mi hocam?  Bu arada çok teşekkür ederim:)

---

Bu ortaöğretim kategorisinde çok fazla karşılaştığım bir şey. Neden direkt olarak 8 basamaktan başlıyorsun ki düşünmeye? İlk önce 2 basamak, sonra 3, sonra 4 denesene. Çoğu zaman ilk ikisinden sonra anlıyorsun ne yapman gerektiğini!

---

Evet hepsini teker teker yazarak başladığımızda $2$ basamak arasındaki toplam $1$ lerin sayısı toplam $0$ larin sayısıyla aynı oluyor. Bazen aceleci olabiliyorum. Siz böyle deyince bir daha ihmal etmem herhalde. Sağolun hocam:)

---

<p> 8 TANE 1 RAKAMINI KULLANIRIZ 
</p>
 
<p>
    <br>
</p>