Yakınsaklık aralığı [kapalı]

Question

$\sum ^{\infty }_{n=1}8^{-^{n}}\left( x^{2}-1\right) ^{n}$

serisinin yakınsaklık aralığı aşağıdakilerden hangisidir? 

A) -3 < x ≤ 3 

B) -3 < x < 3

C) -3 ≤ x < 3

D) -3 ≤ x ≤ 3

E) -7 < x < ? -> burası fotokopide çıkmamış

Benim denediğim yöntemler

Hiçbir fikrim yok

Comments

Kok testini uygulayip limit al.

---

çözebilir misin

---

Ufak da olsa fikriniz yoksa fikir edinmelisiniz. Fikri edinirken takiliyorsaniz o kismi sormalisiniz. Daha sonra bu soru icin fikir edinip yine de takilirsaniz o zaman bu soruyu sormalisiniz.

Eger az biraz fikriniz var ise belirtmekten cekinmeyin lutfen.

Answer 1

$\lim\limits_{n\to \infty}|\sqrt[n]{a_n}|=\lim\limits_{n\to \infty}\left| \sqrt[n]{\dfrac{(x^2-1)^n}{8^n}}\right| =\lim\limits_{n\to \infty}\left| \dfrac{(x^2-1)}{8}\right|=\left| \dfrac{(x^2-1)}{8}\right|<1$

$|x^2-1|<8\Longrightarrow$    $-8<x^2-1<8\Longrightarrow$   $-7<x^2<9\Longrightarrow$

$-3<x<3$

Sinirlari test et.

$x=-3$ iken yakinsak mi ona bak. Yakinsaksa $-3\leq x<3$ al, yoksa  $-3<x<3$ al.

$x=3$ iken yakinsak mi ona bak. Yakinsaksa $-3< x\leq3$ al, yoksa  $-3<x<3$ al.

Hadi ona da bakalim.

$x=3$ icin:

$$\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac{(3^2-1)^n}{8^n}=\sum ^{\infty }_{n=1}1$$ limit sifir olmadigindan iraksaklik testine gore seri iraksaktir.

$x=-3$ icin:

$$\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac{((-3)^2-1)^n}{8^n}=\sum ^{\infty }_{n=1}1$$ limit sifir olmadigindan iraksaklik testine gore seri iraksaktir.

Bundan dolayi yakinsaklik araligi $-3<x<3$  olur.