Topoloji olduğunu gösteriniz.

Question

$X\neq\emptyset$ küme ve $\mathcal{S}\subseteq 2^X$ olmak üzere

$$\tau(\mathcal{S}):=\{\cup\mathcal{B}^*|\mathcal{B}^*\subseteq\mathcal{B}=\{\cap\mathcal{S}^*|(\mathcal{S}^*\subseteq\mathcal{S})(|\mathcal{S}^*|<\aleph_0)\}\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

Not: Bu topolojiye $\mathcal{S}$ ailesinin doğurduğu topoloji denir.

Comments

$T_1)$  $\emptyset,X\overset{?}{\in}\tau(\mathcal{S})$

$\left.\begin{array}{rr}  \ \ (\mathcal{S}^*:=\{ \text{ }\}\subseteq \mathcal{S})(|\mathcal{S}^*|=|\{ \text{ }\}|=0<\aleph_0)\Rightarrow \cap \mathcal{S}^*=\cap\emptyset\in\mathcal{B} \\ \\ \cap \emptyset =X \end{array}\right\}\Rightarrow X\in\mathcal{B}$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow \mathcal{B}^*:=\{X\}\subseteq \mathcal{B}\Rightarrow \cup\mathcal{B}^*\in\tau (\mathcal{S}) \\ \\ \cup\mathcal{B}^*=X \end{array}\right\}\Rightarrow X\in\tau (\mathcal{S}).$

$\left.\begin{array}{rr} \mathcal{B}^*:=\{ \text{ } \}\subseteq \mathcal{B}\Rightarrow \cup\mathcal{B}^*\in\tau (\mathcal{S}) \\ \\ \cup\mathcal{B}^*=\emptyset \end{array}\right\}\Rightarrow \emptyset\in\tau (\mathcal{S}).$