Olasilik 2 guzel bir soru

Question

Reel eksen üzerinde 0 ≤ x ≤ 2 ve -1 ≤ y ≤0 olacak şekilde rastgele A(x,0) ve B(y,0) noktaları seçiliyor. buna göre, A ve B noktaları arasındaki uzaklığın 2'den büyük olması olasılığı nedir?

Comments

Siz neler düşündünüz? 

---

$B(y,0)$ olduğundan emin miyiz? $B(0,y)$ olmasın.

Answer 1

Rastgele noktaların $A(x,0)$ ve $B(0,y)$ oldukları varsayılmıştır.

Düzlemde $A(x,0)$ noktası ile $B(0,y))$ noktası arasındaki uzaklık :$|AB|=\sqrt {x^2+y^2}$ dir.  Bu değer  

$2<|AB|=\sqrt{x^2+y^2}\leq\sqrt5$  olmalıdır. Buradan $4<x^2+y^2\leq 5$  olur. Bu ise aynı merkezli  yarıçapı $\sqrt5$ olan daireden yarıçapı $2$ birim olan dairenin çıkarılması ile oluşan halkadır. Halka alanı :$(\sqrt5)^2.\pi- 2^2.\pi=\pi$ dir. 

Diğer taraftan verilen noktalar arasındaki uzaklık değişimi dikkate alınırsa $0\leq |AB|=\sqrt{x^2+y^2}\leq \sqrt5$  olduğu görülecektir. Tüm daire alanı $(\sqrt5)^2.\pi= 5.\pi$ dir.

 O halde istenen olasılık    $\frac {\pi}{5.\pi}=\frac 15$ olur.

Comments

Diyelim ki orta noktayi sabitledik. Herhangi bir nokyata olan uzakligi $2$den kucuk olur.
Bir kose nokta sabitlersek. Tam olarak bir ceyrek cember olmayan bir alan disindakiler kosulu saglar.

Sizin hesabiniz sanki yari capi $\sqrt5$ olan cemberde icerisindeki bir noktanin orijine uzakligi $2$den buyuk olmasini hesapliyor?

---

Noktalardan birisi ya da ikisi orijinde iken istenen gerçekleşmez.  Eğer $A(2,0)$ olarak düşünülürse  o zaman  $0<y\leq1$  olan her $y$ için sağlanır.  yani $2<\sqrt{4+y^2}\leq\sqrt5$ olur. Benzer şekilde $B(0,-1)$ de düşünülürse o zaman da $\sqrt 3<x\leq 2$ olan her $x$ için istenen sağlanır.  Yani $2<\sqrt{x^2+1}\leq \sqrt5$ dir. Bu iki duruma ilişkin hesaplamayı nasıl yaparız? Sizin yaklaşımınız  nasıldır?

Answer 2

  Istenen olasilik mavi bolgenin alaninin yesil dikdortgenin alanina oranina esittir. 

Mavi bolgenin alani $A$ olsun.

• 1. yontem: Kalkulus kullanarak hesap. Cemberin denlemi $y=\mp\sqrt{4-x^2}$ dir. Negatif olan $x$ ekseninin altindaki kismi ifade eder onu kullanacagiz. Fonksiyon negatif oldugundan, alani bulmak icin integrali eksi ile carpmamiz gerekli.

$$A=\underbrace{1\times(2-\sqrt3)}_{\text{sari dikdortgenin alani}}-\left(-\int_{\sqrt{3}}^2-\sqrt{4-x^2}dx\right)$$

$$=2-\sqrt3+\frac{1}{6} \left(3 \sqrt{3}-2 \pi \right)=2-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{3}$$

Cevap $$\frac{\text{mavi bolgenin alani}}{\text{yesil dikdortgenin alani}}=\frac{2-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{3}}{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi }{6}$$

• 2. yontem:  Geometri ile cozum. Yesil dikdortgenden $30$ derecelik (nerden biliyoruz? Kenarlar $1, \sqrt3,2$ yani $30,60,90 $ ucgeni) daireyi ve alttaki ucgeni cikarirsak mavi alani buluruz.

$$A=\underbrace{1\times(2)}_{\text{yesil dikdortgenin alani}}-\left(\underbrace{\pi2^2\frac{30}{360}}_{\text{30 derecelik dairenin alani}}+\underbrace{\frac{1\times\sqrt3}{2}}_{\text{dik ucgenin alani}}\right)=2-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{3}$$

Comments

olasilik=$\frac{\text{turuncu nokta sayisi}}{\text{mavi nokta sayisi+turuncu nokta sayisi}}$

---

Onemli gozlem su: $x$ ekseni uzerinde secilen $A$ noktasinin $y$ ekseni uzerinde secilen $B$ noktasine uzakligi $AB$ olsun. Bu $AB$ uzunlugu $(A,B)$ noktasinin orijine olan uzakligina esittir. Yani $AB=\sqrt{(A-0)^2+(B-0)^2}=\sqrt{A^2+B^2}$. $AB>2$ demek, merkezi $(0,0)$ ve yaricapi $2$ olan cemberin disinda kalan noktalar demek. Tabi ayni zaman $A\times B=[0,2]\times[0,1]$ dikdortgeninin icinde kalan noktalar demek. Bu da tam anlamiyle yukaridaki turuncu noktalardir.

---

Soruyu soran kişinin yorumlara cevap vermemesinden olsa gerek ben de Ökkeş bey siz de soruyu yanlış anlayıp farklı bir soruyu cevaplamaya çalışmışız. Belki de soru da yazılı olduğu şekli ile her iki nokta da $x-ekseni$  üzerinde. O zaman iş değişiyor tabii.