İddianın yanlış olduğunu varsayıp bir çelişkiye ulaşarak, iddianın doğruluğunu ispatlayacağız.
Her $x\in\mathbb{R}$ ve her $n\in\mathbb{N}$ için $f^{(n)}(x)\geq 0$ olsun.
her $n\in\mathbb{N}$ için $f^{(n)}$ (tüm $ \mathbb{R} $ de) artan (azalmayan da deniyor) fonksiyondur.
Bu nedenle (ve $ f(0)=0 $ olduğu için) her $ x\leq0 $ için, $f(x)=0$ olur.
Buradan da, her $ x\leq0 $ ve her $n\in\mathbb{N}$ için, (0 da soldan türevlerin hepsi 0 olduğu için) $f^{(n)}(x)=0$ olur dır.
Kalanlı Taylor Teoreminden, ($ f $ nin 0 daki değeri ve her türevi 0 (Aslında, 0 yerine bir negatif sayı da kullanabiliriz) olduğu için Taylor polinomları 0 olur ve) ,
$ 1=f(1)=\frac{f^{(n+1)} (c_n)}{(n+1)!}$ olacak şekilde $ c_n\in(0,1) $ sayıları vardır.
Bu da, her $n \geq0$ için, $ f^{(n+1)} (c_n)=(n+1)! $ ve ($ f^{(n+1)} $ artan olduğu için) $ f^{(n+1)} (1)\geq f^{(n+1)} (c_n)=(n+1)! $ olur.Bu nedenle, $ f $ nin 1 deki Taylor polinomları, (her $n \geq0$ için) $ P_n(x)=1+a_1(x-1)+a_2(x-1)^2+\cdots+a_n(x-1)^n$ olmak üzere $ a_i\geq1 \ (i=1,\ldots,n)$ olur.
Yine, Kalanlı Taylor Teoreminden, her $n\geq0$ için:
$ f(2)=P_n(2)+\dfrac{f^{(n+1)} (d_n)}{(n+1)!} $ olacak şekilde $d_n\in(1,2)$ sayıları vardır.
$ f^{(n+1)} (d_n)\geq0 $ olduğu için,
$ f(2)\geq P_n(2)=1+a_1+a_2+\cdots+a_n \geq n+1$ olur.
Bu eşitsizlik, her $ n\in\mathbb{N} $ için doğru olup, bu durum Arşimet Özelliği ile çelişir.
Bu çelişki, iddianın doğru olduğunu ispatlar.