Topolojik toplam nedir sorusuna ithafen

Question

$X_{1} \cap X_{2} = \emptyset$ , $ X_{1}\cup X_{2}=X $ ve $ (X_{1},\tau_{1}),(X_{2},\tau_{2})$  topolojik uzaylarının topolojik toplamı $ (X,\tau) $ olmak üzere 

$ \left((X_{1},\tau_{1}), T_{2} \text{ uzayı} \right) \left( (X_{2},\tau_{2}), T_{2} \text{ uzayı} \right) \Leftrightarrow (X,\tau) , T_{2} \text{ uzayı} $

olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Öncelikle gerek kısmını gösterelim: 

$ (X_1,\tau_1)$ ve $ (X_2,\tau_2)$ topolojik uzayları $T_2$ uzayı olsun.

$\left. \begin{array}{rr} (X_1,\tau_1) , T_2 \text{ uzayı} \Rightarrow (\forall x_1,y_1\in X_1) [ x_1\neq y_1 \Rightarrow (\exists U_1\in\mathcal{U}(x_1))(\exists V_1\in\mathcal{U}(y_1)) (U_1\cap V_1 = \emptyset)] \\ \\ (X_2,\tau_2) , T_2 \text{ uzayı} \Rightarrow (\forall x_2,y_2\in X_2) [ x_2\neq y_2 \Rightarrow (\exists U_2\in\mathcal{U}(x_2))(\exists V_2\in\mathcal{U}(y_2))(U_2\cap  V_2 = \emptyset)] \\ \\ ((X,\tau) , \text{ topolojik toplam})(U:= U_1\cup U_2) (V:= V_1 \cup V_2) \end{array}\right\} \overset{ Neden?} \Rightarrow $

$\begin{array}{rcl} & \Rightarrow &  ( x_1,y_1\in X) [ x_1\neq y_1 \Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x_1))(\exists V\in\mathcal{U}(y_1)) (U\cap V= \emptyset) ] \\ \\ & \Rightarrow &  (X,\tau), T_2 \text { uzayı}  \ . \end{array} $

Yeter kısmını göstermek artık zor olmasa gerek.