Hızların Lorentz Dönüşümlerini Çıkartılışı

Question

Lorentz Dönüşümlerini üslü üssüze göre $v \widehat x$ sabit hıza sahip hareketliler için,

$x' = \gamma (x - vt) $

$y' = y $

$z' = z $

$t' = \gamma (t   - \dfrac{\beta}{c} x)$

 

olduğunu göstermiştik.

Üssüz koordinatlarda $\vec{u} =  (u_x, u_y, u_z)  $ hareketlinin

Üslü koordinatlardaki dönüşümü $\vec{u}' =  (u_x', u_y', u_z')  $

nasıl olur?

 

Hızın tanımından,

$ u_x = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} $

ve üslü koordinatlarda da

$ u_x' = \dfrac{x_2' - x_1'}{t_2' - t_1'} $

şeklinde ifade edilir. Zaman farklarını sıfıra götürdüğümüzde

$ u_x = \dfrac{dx}{dt} $

ve üslü koordinatlarda da

$ u_x' = \dfrac{dx'}{dt'} $

olur.

Answer 1

$ dx' = \gamma (dx - v dt)$

$  dt' =  \gamma (dt - \dfrac{\beta}{c} dx) $

denklemlerini taraf tarafa bölersek,

$ u_x' =  \dfrac{dx'}{dt'} = \dfrac{dx - v dt}{dt - \dfrac{\beta}{c} dx}$

sağ tarafın pay ve paydasını $dt$ ye bölerek,

$ u_x' =  \dfrac{dx'}{dt'} = \dfrac{\dfrac{dx}{dt} - v}{1 - \dfrac{\beta}{c} \dfrac{dx}{dt}}$

ifadesi elde edilir. $ u_x = \dfrac{dx}{dt} $  ve $\beta = \dfrac{v}{c}$ tanımlarının yerleştirilmeisyle,

$ u_x' =  \dfrac{dx'}{dt'} = \dfrac{ u_x -  v}{1 - \dfrac{v}{c^2} u_x}$

dönüşümünü olur.

Aynı işleyişleri $u_y$ için de yaptığımızda,

$ dy' = dy $

$  dt' =  \gamma (dt - \dfrac{\beta}{c} dx) $

denklemleri taraf tarafa bölüp sağ tarafı pay ve payda $dt$ ye böldüğümüzde

$u_y' = \dfrac{u_y}{\gamma (1 -  \dfrac{v}{c^2} u_x) }$

elde edilir ve aynı durum sadece $y$ ile $z$ dönüşümüyle $u_z'$ için de yapılarak tüm hız dönüşümleri:

 

 

$ u_x'  = \dfrac{ u_x -  v}{1 - \dfrac{v}{c^2} u_x}$

$u_y' = \dfrac{u_y}{\gamma (1 -  \dfrac{v}{c^2} u_x) }$

$u_z' = \dfrac{u_z}{\gamma(1 - \dfrac{v}{c^2} u_x )}$