Bir metrik uzayda kapalı ve sınırlı küme kompakt mıdır ?

Question

Bir tane $A$ tanımlayalım

Teorem: $A$ , metrik uzay $(X,\tau)$'nun kompakt bir alt kümesi olsun.O halde $A$ kapalı ve sınırlıdır.

Bir nevi sorum teoremin tersi doğru mu?Ters örnek vermemiz gerektiğini düşünyorum.

Aklıma şu geldi , $X$ sonsuz bir küme olsun , ayrık uzayı göz önüne alalım , bu metriklenebilir ve Hausdorff bir uzaydır.$X$'in kendisi kapalıdır ama kompakt değildir.Nedenini de şöyle açıklayayım, $X$ sonsuz tane tek nokta kümelerinin birleşimi şeklinde yazılabilir ama sonlu tane tek nokta kümenin birleşimi ile yazılamaz çünkü en başta $X$ için sonsuz demiştik.$X$ kompakt değildir.

Metrik için de geçerli olur mu ?

Comments

Iki farklı nokta arasındaki mesafeyi $4$ olarak tanımladığın bir uzay düşün. Hangi iki farklı noktayı alırsan al, mesafe $4$. Her noktanın kendine uzaklığını da sıfır olarak tanımla. Bu bir metrik oluşturur mu? Evet ise açık yuvarları nelerdir, tanımladığı topoloji neye benzer? Bu soruların cevabını verebilirsen soru biter.

---

hocam merhaba, verdiğiniz örnek üzerinde yakın zamanda üzerine düşünücem umarım bu yorumdan sonra yapacağım yorumda size bildirim olarak gelir

---

hocam verdiğiniz örnek ayrık metriğin tanımına bir hayli benziyor sadece burada uzaklık 4.Bu metrik belirtir.

Ayrık topolojiyi oluşturur.Singleton set $\left\{ x\right\} $ bunun açık yuvarı olur.Ayrık topolojiyi oluşturur.

---

Açık yuvarlar iki türlü aslında. Yarıçapı $4$'ten küçük olan yuvarlar dediğin gibi, yarıçap $4$'ten büyükse tüm uzay geliyor. Bu uzay sınırlı, zira uzaklık $4$ ile sınırlı ama tıkız (kompakt) değil senin yukarıda yazdığın sebepten ötürü.

---

hocam teşekkür ederim geri dönüşünüz için

Answer 1

Discrete metriği göz önüne alalım.Yarı çap 1'den küçükse tek nokta kümelerini elde ederiz , büyükse tüm uzay.Bu uzay 1 ile sınırlı ama kompakt değil.

Çünkü,X sonsuz tane tek nokta kümelerinin birleşimi şeklinde yazılabilir ama sonlu tane tek nokta kümenin birleşimi ile yazılamaz çünkü X için sonsuz olduğunu kabul ettik.