$$\int \tan(2x) \tan(3x) \mathrm{dx}$$
Bu integrali sinüs ve cosinüs cinsinden yazmak için hesaplarımızı yapalım.
$$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$$
$$\sin(3x)=\sin(x)(4cos^2(x)-1)$$
$$\cos(2x)=2cos^2(x)-1$$
$$\cos(3x)=\cos(x)(4cos^2(x)-3)$$
İntegrali bu dönüşümleri kullanarak tekrar yazalım:
$$2\left(\int \dfrac{(1-\cos^2(x))(4\cos^2(x)-1)}{(2\cos^2(x)-1)(4\cos^2(x)-3)}\mathrm{dx}\right)$$
Biraz daha kolay görmek için $\cos(x)=u$ diyeceğiz ve sonra bir polinom bölmesi yapacağız. O halde:
$$\dfrac{(1-u^2)(4u^2-1)}{(2u^2-1)(4u^2-3)}$$
Bölmek için düzenleyelim.
$$\dfrac{-4u^4+5u^2-1}{8u^4-10u^2+3}$$
Bu bölmeyi yaptığımızda:
$$2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2(2u^2-1)(4u^2-3)}\right)$$
$$=1+\dfrac{1}{(2u^2-1)(4u^2-3)}$$
Henüz bir sona gelemedik ama geleceğiz, şimdi basit kesirlere ayırıp 3 adet toplam şeklinde yazacağız:
$$\int\left(-1-\dfrac{1}{2\cos^2(x)-1}+\dfrac{2}{4\cos^2(x)-3} \right)\mathrm{dx}$$
Bunları ayrı ayrı hesaplayacağız, ilk önce ikincisini hesaplayacağız:
$$-\int \dfrac{1}{2\cos^2(x)-1}\mathrm{dx}$$
Her tarafı $\cos^2(x)$'e bölelim.
$$-\int \dfrac{\dfrac{1}{\cos^2(x)}}{2-\dfrac{1}{\cos^2(x)}}\mathrm{dx}$$
Diyelim ki, $t=\tan(x)$ o halde $\mathrm{dt}=\sec^2(x)\mathrm{dx}$ ayrıca, $t^2+1=\sec^2(x)$. İntegral kolay bir integrale dönüştü:
$$-\int \dfrac{1}{1-t^2}\mathrm{dt}$$
$$\Rightarrow-arctanh (\tan(x))$$
Diğer integrali okuyucuya bırakıyorum(biraz daha zor.)
Sonuçta integralimiz:
$$\int \tan(2x) \tan(3x) \mathrm{dx}=-x-arctanh(\tan(x))+\dfrac{4}{3}arctanh(\sqrt{3}\tan(x))$$