Integral için Ortalama Değer Teoremi

Question

>Eğer $n>0, n\in \mathbb{N}$ ve $\sqrt{n \pi} \leq c \leq \sqrt{(n+1)\pi}$ ise $$\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin^2(x)\mathrm{dx}=\dfrac{(-1)^n}{c}$$'yi kanıtlayın. $c$, \quad $\sqrt{n\pi}$ ve $\sqrt{(n+1)\pi}$ aralığında bir c değerini simgeliyor. [Matematik Dünyası]

Aşağıdaki teoremi uygulamaya çalıştım:

$$\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{dx}=f(c)$$
Ve

$$\dfrac{1}{(\sqrt{(n+1)\pi}-\sqrt{n\pi})}\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin^2(x)\mathrm{dx}=f(c)$$

Sonuç gelmedi, ben de aşağıdaki teoremi kullandım

$$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{dx}=f(c)\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{dx}$$

Dedim ki, $\sin(x)=f(x)=g(x)$ olsun.

$$\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin^2(x)\mathrm{d}x=\sin(c)\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin(x)\mathrm{d}x \\
=\sin(c)\left(-\displaystyle \cos \Big|_\sqrt{n\pi}^\sqrt{(n+1)\pi}\right)$$ Sonrası gelmedi.Daha sonra

$$\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}} |\sin^2(x)|\mathrm{d}x\leq\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}} |x^2|\mathrm{d}x$$'yi kullandım ama onunla da bir yere varamadım. Hatta $x^2$ yerine $x$ yazdım (x'ler pozitif olmak zorunda) ama oradan da bir yere varamadım. Yardımcı olursanız çok makbule geçer. Teşekkürler.

Comments

Sorunun böyle olduğuna emin misiniz?

$\sin(x^2)$ olmasın?

---

Hocam dergide yazdığı gibi yazdım.

---

Dergideki aynen yazımı benim yazdığımla aynı diye biliyorum: $\sin(x)^2$

---

$\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin^2(x)\mathrm{dx}$ integralinin negatif  olabilir mi?

---

Hocam kendi içinde mutlak değer ihtiva ediyor olamaz diye düşünüyorum o yüzden son eşitsizliği yazabilmiştim. Bu arada hocam sorunun orijinalinde sinx^2 diye yazmış bilerek $\LaTeX$ olarak yazmadım. Sanırım dediğiniz gibi olacak ama $\sin(x^2)$ diye bir antitürev mevcut değil, öyle değil mi?

Ek:Fotoğrafını paylaşmaya karar verdim.

2. Ek:Başaramadım.

---

Hemen hemen herkes, $(\sin x)^2$ yerine, kısaca $\sin^2x$ olarak yazar. (Edit: kerkes->herkes)

O nedenle.

$\sin x^2$ yazılınca, ($\sin x)^2$ olmadığı düşünülerek) $\sin(x^2)$ anlaşılır.

---

Hocam eğer $\sin(x^2)$ ise işlerimiz daha da zorlaşmıyor mu? Bir de $\sin(x^2)$ ile denedim ama analitik olmadığı için seriler işin içine girdi, dolayısıyla hiçbir yere varamadım.

---

$g(x)=\sin x^2$ olsun. Sen uygun bir $f(x)$ bulup o formülü kullanabilirsin.

---

Hocam $\sin x^2$ dediysek $f(x)=1$ olmaz mı?

---

@Arda Kılıç,

Önce

".. ise $\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{dx}=f(c)\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{dx}$...." 

teroeminin ifadesini eksiksiz yazar mısın.

Answer 1

(soruda sözü edilen) Teorem:

$a<b,\ a,b\in\mathbb{R}$, $g,\ [a,b]$ aralığında integrallenebilen, $(a,b)$ aralığında işaret değiştirmeyen bir fonksiyon ve $f,\ [a,b]$ aralığında sürekli bir fonksiyon ise, 

$\displaystyle\int_a^b f(x)g(x)\,dx=f(c)\int_a^b g(x)\,dx$ olacak şekilde (en az) bir $c\in[a,b]$ sayısı vardır.

Şimdi $a=\sqrt{n\pi},\ b=\sqrt{(n+1)\pi},\ f(x)=x,\ g(x)=\sin x^2$ olsun.

Teoremin hipotezinin sağlandığı açıkça görülmektedir. Öyleyse:

$\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}x\sin x^2\mathrm{dx}=c\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin x^2\mathrm{dx}$

olacak şekilde ($n$ ye bağlı) bir $c\in[\sqrt{n\pi} ,\sqrt{(n+1)\pi}]$ sayısı vardır.

Belirli İntegrallerde Değişken Değiştirme Teoreminden (oradaki hipotez de sağlanıyor),

$\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}x\sin x^2\,\mathrm{dx}\stackrel{u=x^2}{=}\frac12\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\sin u\,\mathrm{du}=\left.\frac12(-\cos u)\right|_{n\pi}^{(n+1)\pi}=\frac12\left((-1)^n-(-1)^{n+1}\right)=(-1)^n$

bulunur. Yukarıdaki eşitlikte yerine konulursa:

$\displaystyle(-1)^n=c\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin x^2\,\mathrm{dx}$

Düzenlenirse ($c\neq0$ olduğu için):

Bir $c\in[\sqrt{n\pi} ,\sqrt{(n+1)\pi}]$ için, $\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin x^2\,\mathrm{dx}=\frac{(-1)^n}c$ olduğu elde edilir.

Comments

$\int_0^\infty\sin x^2dx$ integralinin yakınsaklığı ile ilgili de konuşmak mümkün.

---

Çok teşekkürler hocam.

---

@Sercan hocam sanırım her x değeri için yakınsıyor.

---

Su sorudaki cevabinizin altinda Ozgurun yaptigi yorumu cevaplarsaniz haklisiniz evet (sanirim)

---

Hangi sorudan bahsediyorsunuz?

---

Elementer (Analitik) olmayan bir integral adli soru. Aslinda link var tiklayabilmelisiniz yorumumdaki (su sorudaki cevabinizin) ustune gelirsenuz

---

$sin(x^2)$'nin yakınsak olduğunu nasıl anlayabildiniz ?

---

@eloi dediğiniz sorudaki cevap kısmını söylüyorsunuz sanırım. Ben tamamen unutmuşum orayı, bildirimleri de gelmedi. Şimdi baktım ama bir typo olduğunu fark ettim. İntegral ve serinin yerini değiştirme gibi bir şey yapmayacaktım(yapılıyorsa da bilmiyorum). Şimdi değiştireceğim.

---

@sametoytun yakında yorum olarak ekleyeceğim denememi.