$V-E+F=2$ eşitliği sadece "küre gibi" olan polihedralarda sağlanır.
Simit yüzeyi gibi olanlar için $V-E+F=0$ sağlanır. (Başkaları da var elbette, onlarda da benzer eşitlikler var)
Tüm kompakt ve sınırı olmayan yüzeyler (2 boyutlu topolojik manifold) için Euler formülü benzeri bir formül var, Euler sayısı denen bir (Hatta daha yüksek boyutlu manifoldlar (çokkatlı) için de) tamsayı var.
Polihedrona homeomorf olanlarda, polihedron için hesaplanan bu sayıyı kullanabiliriz ama farklı polihedronlarda aynı sayının çıkacağını nerden bileceğiz?
Bu sayının aynı olacağını gösteren ve polihedron kullanmadan hesaplanan ve polihedronlarda buna eşit olan sayı şöyle tanımlanır:
( wikipedia )
Çokkatlının, homoloji veya kohomoloji gruplarının ranklarından (rank:abelyen grubun serbest kısmının üreteç sayısı) benzer işlemle (sırayla $\pm$ toplama) elde edilen sayıya Euler sayısı deniyor. Kürede 2, simit yüzeyinde 0, projektif düzlemde 1 vs.
Bu sayı, çok önemli bir soruya cevap veriyor:
Türevlenebilen çok katlılarda, hiç bir yerde 0 olmayan teğet vektör alanı olup olmadığı sorusuna bu sayıya bakarak cevap vermek mümkün: 0 ise var, değilse yok.
Örneğin kürede (bu sayı 2 olduğu için)böyle bir vektör alanı yok, bu nedenle 3 boyutlu uzayda "güzel" bir çarpma tanımlayamıyoruz.
3 boyulu kürede bu sayı 0, 4 boyutlu uzayda güzel bir çarpma var: Kuaterniyon (Hamiltoniyan) çarpımı.
7 boyutlu kürede de bu sayı 0, 8 boyutlu uzayda güzel bir çarpma var: Cayley sayıları.