(a) şıkkını ispatlabildim şöyle yapmiştım:
Ilk olarak $t_\theta \in Reg(X,\tau)$ yani $\tau_\theta $ regüler uzay olduğunu gösterdim;
$x\in X $ ve $U\in \theta O(X,x)$ $(\theta O(X,x) := \{U | x\in U \in \tau_\theta \} )$ olsun
$\begin{array}{rcl}
U\in \theta O(X,x) &\Rightarrow & x\in U = \theta-int(U) \\ &\Rightarrow &(\exists V\in \mathcal{U}(x)) (cl(V)\in U)
\end{array}$
Yani $(X,\tau_\theta )$ Regülar uzaydır.
Ayrıca $\tau_\theta \subseteq \tau$ olur.
Demek ki $t_\theta \in Reg(X,\tau)$.
Şimdi $\sigma \in Reg(X,\tau)$ alalım $\sigma \subseteq t_\theta $ olduğunu görelım. bunu için $A\in \sigma$ ve $x\in A $ olsun;
$\left.\begin{array}{r} x\in A\in \sigma \Rightarrow A\in \sigma O(X,x) \\ \\ (X,\sigma ) \text{ regüler uzay } \end{array}\right\}\Rightarrow \!\!\!\!\! \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{r} (\exists U \in \sigma O(X,x) ) (cl(U) \subseteq A ) \\ \mbox{} \\ \sigma \subseteq \tau \end{array}\right\}\Rightarrow \!\!\!\!\!\end{array}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow (\exists B\in U(x) ) (cl(U)\subseteq A ) \Rightarrow A \in \tau_\theta .
\end{array}$
Demek ki $\sigma \subseteq \tau_\theta$ .
Sonuç : $\tau_\theta = maxReg(X,\tau )$ olur.
(b) şıkını de doğru olduğunu düşünüyorum fakat kanıtlayamadım. 3 ve 4 elemanlı tüm topolojileri için bilgiyarımda kontrol ettırdım ve doğru olduğunu detekleniyor.