Regülar topolojik uzaylarda theta açıkları ya topolojiyi yada clo_open'lere mi eşittir ?

Question

Tanım:  $\left( X,\tau \right)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olsun.

$\theta \text{-} int
    \left( A\right) :=\bigcup \left\{ U|\left( cl\left( U\right) \subseteq A\right) \left( U\in O\left( X\right) \right)
    \right\} =\{x| (\exists U \in \mathcal{U}(x) ) (cl(U) \subseteq A )\} ,$

 $A,\text{ }\theta \text{ açık}:\Leftrightarrow A=\theta \text{-} int\left(
    A\right)$  ve  $\tau_\theta := \{A\subseteq X | A , \ \theta \text{ açık } \}.$

$C(X) := \{A\subseteq X | A, \ \text{kapalı}\} $

$CO(X,\tau) := \{A\subseteq X | A\in \tau \cap C(X)\} $

 

Soru: $(X, \tau)$ topolojik uzay ve $(\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)), \subseteq)$ posetini ele alalım.

$Reg(\tau):=\{\sigma| (\sigma\subseteq \tau)((X,\sigma), \text{regüler}) \}$ ailesi verilsin:

(a) $``\tau_\theta=\max Reg(\tau)"$ önermesi doğru mudur?

(b) $``\max Reg(\tau)=\tau $ ya da $\max Reg(\tau)=CO(X,\tau)"$ önermesi doğru mudur?

 

Comments

Sen bu soruda ne düşündün / denedin Faical Yacine Issaka?

---

(a) şıkkını ispatlabildim şöyle yapmiştım:

Ilk olarak $t_\theta \in Reg(X,\tau)$ yani $\tau_\theta $ regüler uzay olduğunu gösterdim;

$x\in X $ ve $U\in \theta O(X,x)$ $(\theta O(X,x) := \{U | x\in U \in \tau_\theta \} )$ olsun

 $\begin{array}{rcl} 
  U\in \theta O(X,x) &\Rightarrow & x\in U = \theta-int(U)  \\ &\Rightarrow &(\exists V\in \mathcal{U}(x)) (cl(V)\in U) 
  \end{array}$  

Yani  $(X,\tau_\theta )$ Regülar uzaydır.

Ayrıca $\tau_\theta \subseteq \tau$ olur. 

Demek ki $t_\theta \in Reg(X,\tau)$.

 

Şimdi $\sigma \in Reg(X,\tau)$ alalım $\sigma \subseteq t_\theta $ olduğunu görelım. bunu için $A\in \sigma$ ve $x\in A $ olsun;

$\left.\begin{array}{r} x\in A\in \sigma \Rightarrow A\in \sigma O(X,x) \\ \\ (X,\sigma ) \text{ regüler uzay } \end{array}\right\}\Rightarrow \!\!\!\!\! \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{r} (\exists U \in \sigma O(X,x) ) (cl(U) \subseteq A ) \\ \mbox{} \\ \sigma \subseteq \tau \end{array}\right\}\Rightarrow \!\!\!\!\!\end{array}$

$\begin{array}{l} 
\Rightarrow (\exists B\in U(x) ) (cl(U)\subseteq A ) \Rightarrow A \in \tau_\theta .
  \end{array}$
 
 Demek ki $\sigma \subseteq \tau_\theta$ .

Sonuç : $\tau_\theta = maxReg(X,\tau )$ olur.
 

(b) şıkını de doğru olduğunu düşünüyorum fakat kanıtlayamadım.  3 ve 4 elemanlı tüm topolojileri için bilgiyarımda kontrol ettırdım ve doğru olduğunu detekleniyor.