Süreklilik Sorusu

Question

$f(x)=\begin{cases}1, x\in \mathbb{Q} \\
0,x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\end{cases}$

Bu fonksiyon için her $x\in \mathbb{R}$ için süreksiz demiş.

Benim düşüncem şu şekilde, $x=5$ seçtim, $f(5)=1$ ve sağ-sol limitlerin sonucu 0 geliyor. $x=5$'te süreksiz. Aslında her $x\in\mathbb{Z} $ için süreksiz.

Şimdi $x=\pi$ seçtim. $f(\pi)=0$ ve sağ-sol limitleride $0$ değil mi ? Bu fonksiyonun içine irrasyonel sayılar konulduğunda sürekli olmuyor mu ?

Comments

Sağ sol limitlerin doğru olduğuna emin misin?

---

hocam $\pi$'ye sağ ve soldan yaklaştığımızda, örneği sağdan yaklaşalım. $3.1415...$' $\pi$'ye çok yakın ama $\pi$'den farklı olacak şekilde yaklaşınca fonksiyon $0$ olmuyor mu?

---

$\pi$ noktasında sağdan ve soldan limit mevcut değil @sametoyrun. Hatta bu fonksiyon için hiçbir noktada sağdan ve soldan limitin mevcut olmadığını gösterebilirsin.

---

Hocam düşüncemi yazayım. Tekrardan $5$'i ele alıyorum ve soldan yaklaştım. $f(5^{-})$, yukarıya göre $f(5^{-})$ nereye düşer. $5^{-}$ rasyonel sayı mı yada irrasyonel sayı olup olmadığını nasıl belirleyebilirim?

---

$5^-$ ya da $5^+$ sayı değil, sadece limitte kullanılarn bir simgedir.

---

hocam nasıl yorumlamalıyım?

---

Hocam ne yapmalıyım?

---

Sürekliliğin  $\varepsilon$-$\delta$ tanımını biliyor musun?

($\mathbb{R}$ de) yoğun olmak ne demek biliyor musun?

---

$X$ bir küme ve $\emptyset \ne S\subseteq X$ olsun. $S$, $X$'de yoğundur eğer $\overline{S}=X$ ($\overline{S}=S \cup S'$ , ($S'$= $S$'nin limit noktalarının kümesi)

$\mathbb{R}$'de yoğunluk için $X=\mathbb{R} $ alırsak yeterli.

$\overline {\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$ olduğunu biliyorum. Biraz daha türkçe yazarsak, iki reel sayı arasında mutlaka rasyonel sayı vardır.

Süreklilik Tanımı: Fonksiyon $I$ aralığında süreklidir eğer $\forall x_0\in I\subseteq \mathbb{R}$ 

$\forall \varepsilon  >0,\exists \delta >0$ öyle ki $\forall x_{0}\in I$ için $,\left| x-x_{0}\right|  <\delta \Rightarrow \left| f\left( x\right) -f\left( x_0\right) \right|  <\varepsilon $

---

Bir de, irrasyonel sayıların ($\mathbb{R}$ de) yoğun olduğunu kullanmak gerekiyor.

---

Bu tam olmamış. $x_0$ ve $x$ karışmış. $x$ için niceleyici, (her veya en az bir) eksik. Bu de bir noktada süreklilik tanımını yazmalısın.

---

İrrasyonel sayılar Reel sayılarda yoğundur

fonksiyon $x_0\in \mathbb{R}$ noktasında süreklidir :$\forall \varepsilon  >0,\exists \delta >0$,öyleki  $\left| x-x_{0}\right|  <\delta \Rightarrow \left| f\left( x\right) -f\left( x_0\right) \right|  <\varepsilon$