Dünya üzerinde her zaman rüzgar esmeyen bir nokta vardir

Question

Yada baska kelmilerle; kirpiyi taramaya calisirsaniz, bir nokta hep kel kalir.

Neden ?

Comments

Burada, rüzgarların (sürekli fonksiyon olduğuna ek olarak) dünya yüzeyine teğet olduğu varsayımı var.

Öyle varsaymazsak şöyle ifade edebiliriz:

Dünyanın en az bir noktasında, rüzgar dünya yüzeyine diktir (elbette hızı 0 ise de dünya yüzeyine diktir).

Answer 1

$S^2$ kuresi uzerinde her yerde sifirdan farkli bir vektör alani mevcut olmadigindan rüzgar esmeyen bir nokta vardir ki bu hairy ball teoremi olarak biliniyor. Türevlenebilen bir manifoldda, manifoldun üzerindeki hiç bir noktada sıfır olmayan bir teğet vektör alaninin olup olmadiğini belirleyen topolojik sabit Euler sayisi. $S^2$küresinde bu sayının $2$ olması  böyle bir vektör alanının olmadığını garantiliyor. Ama küre yerine torus alirsanız bu sayı $0$ olduğundan böyle bir alan mevcut olmalı.

Comments

Peki diyelim sadece compact- closed - yüzeyler için konuşursak bu mantık tüm bu yüzeyler için geçerli mi ve bu önerme ancak ve ancak mı?

Genelleştirmek için genel $\chi$ euler sayısı n- manifoldlarda nasıl veriliyor, sanırım üçgenleştirilebilmesi gerek ilk, diyelim ki n manifold üçgenleştirilebiliyor bu euler sayısı nasıl veriliyor ve bu hairy ball yine bu n manifoldlara genişletilebiliyor mu?

---

Sanırım kompakt manifoldlarda üçgenleme veya daha yüksek boyutlarda poligonlama yapılabiliyor. Ancak burada çıkacak sayılar rastgele olmayıp Poincare dualitesinden dolayı bir simetri oluşuyor. Bir çarpım manifoldunun karakteristiği manifoldların karakteristiklerinin çarpımı olarak bulunabiliyor. Örneğin $n$ tane $S^1$ küresinin çarpımından oluşan bir $T^n$ torusunun karakteristiği $\chi(S^1)=0$ olduğundan sıfırdır.  Ayrıca çift boyutlu küreler için $\chi(S^{2n})=2$ olduğunu biliyorum. Kapalı tek boyutlu kompakt(tıkız) manifoldlarda bu sayı yine sıfır. $g$ tane deliği olan bir yüzeyin Euler karekteristiği ise $2-2g$ olarak veriliyor. Buna göre yüzeylerin karakteristiklerinin çift olması gerekir ancak üçgensel bölge için karakteristik $1$ olduğundan sanırım hemen hemen demeliyiz.Buradaki $g$ sayısına yüzeyin cinsi veya genusu deniyor. Genel durum sanırım CW komplekslerle ilgili. Hairy ball teoremi bir çift gerektirmemidir bilmiyorum.

---

Tüm kapalı (sınırı olmayan kompakt) manifoldlar için doğru.

Çift gerektirmedir.

---

Diverjans 0 olma koşulu var mı bunun için? 0 değilse örnek bulunabiliyor sanki.

---

@teomanof, Diverjans ile ilgili bir koşul yok.

Senin düşündüğün örnek nasıl bir şey?

---

H. Hacısalihoğlu nun Diferensiyel Geometri kitaplarından birinin kapağında (aşağıdaki) bir kafa şekli vardır. Bu teoremi temsil eder, kafamızın tamamını, saçlar kafaya teğet olacak şekilde (kafanın tamamını saçlı olarak düşünün :-) ) tarayamayız.