$\sum_{1}^{\infty} a_n $ yakınsak ve pozitif terimli ise $\sum_{1}^{\infty}\frac{a_n}{n}$ için ne söyleyebiliriz?

Question

$\sum_{1}^{\infty} a_n $ ise yakınsak ve pozitif terimli $\sum_{1}^{\infty}\frac{a_n}{n}$ için ne söyleyebiliriz?

Çok kolay bir soru olduğunun farkındayım ama önce şunu denedim. $ \frac 1n$ ile kıyasladım ve limit testinden sonucu $0$ geliyor. Bundan dolayı işlevsiz. Ne  ile kıyaslamalıyım?

Comments

"$\sum_1^\infty a_n$ ise" ne demek?

Tahmin etmek zor değil ama açıkça yazılsa daha iyi olmaz mı?

---

pardon yakınsak yazmayı unutmuşum.

---

Limit Karşılaştırma Testi için serinin pozitif terimli olması gerekir.

Seri pozitif terimli mi?

Öyle ise $\sum_{1}^{\infty}\frac{a_n}{n}$ nin de yakınsak olacağını göstermek çok kolay.

---

Hocam pozitif terimli olduğunu varsayalım. Yukarıda $1/n$ ile kıyaslamıştım ama sonuç alamadım. Ne önerirsiniz?

---

Pozitif terimli seriler için başka hangi test(ler) var?

EK: Pozitif terimli ise bunu soruda belirtmelisn.

---

Limit testine çok odaklanmıştım.

Direk Karşılaştırma Testini ile şunu söyleyebilir miyim? $a_n > \dfrac{a_n}{n}$.

Sol kısım yakınsak e haliyle sağ tarafta yakınsaktır.

---

Aslında, pozitif terimli olmasa da, $\sum a_n$ yakınsak ise, $\sum {a_n\over n}$ yine yakınsak olur.

Ama, 1. sınıf lisans düzeyinde sözü edilen basit testler yeterli değil.

Düzeltme: Testin adını yanlış hatırlamışım, düzelttim.

Genellikle biraz daha ileri düzeyde sözü edilen, Abel in Dirichlet Testi olarak bilinen bir test (daha doğrusu bir teorem) ile gösterilebiliyor.

---

$\sum a_n$ pozitif terimli değilse, Dirichlet Testini dene.

---

$\sum a_n$ pozitif terimli ve yakınsak ise $\sum \frac{a_n}n$ serisi, $\sum a_n$ ile Liimit KarşılaştırmaTesti kullanılabilir.

---

evet haklısınız