Question

$a\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ olmak üzere $\frac{{\lfloor a\cdot 10^n}\rfloor}{10^n}\to a$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Şuradaki soru bunun çok benzeri.

Answer 1

$a\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ olsun.

$$\begin{array}{rcl} (n\in\mathbb{N})(a\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) & \Rightarrow & a\cdot 10^n-1<\lfloor a\cdot 10^n\rfloor < a\cdot 10^n \\ \\ &\Rightarrow & \frac{a\cdot 10^n-1}{10^n}=a-\frac{1}{10^n}<\frac{\lfloor a\cdot 10^n\rfloor}{10^n}< a=\frac{a\cdot 10^n}{10^n} \end{array}$$
ve
$$\lim\limits_{n\to \infty}\left(a-\frac{1}{10^n}\right)=a=\lim\limits_{n\to \infty} a$$ olduğundan Sıkıştırma Teoremi gereğince
$$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\lfloor a\cdot 10^n\rfloor}{10^n}=a$$ olur.

Comments

$a$ negatif ise dizi artan mıdır?