$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar, $f\in Y^X,$ $A\subseteq X$ ve $x\in X$ olsun. $$(x\in D(A))(f, \text{ sürekli})(f, \text{birebir})\Rightarrow f(x)\in D(f[A])$$ olduğunu gösteriniz.

Question

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar, $f:X\to Y$ fonksiyon, $A\subseteq X$ ve $x\in X$ olsun. $$(x\in D(A))(f, \text{ sürekli})(f, \text{ birebir})\Rightarrow f(x)\in D(f[A])$$ olduğunu gösteriniz.

Yani $x, \ A$ kümesinin yığılma noktası ve $f$ birebir sürekli bir fonksiyon ise $f(x)$'in $f[A]$ kümesinin bir yığılma noktası olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$V\in\mathcal{U}(f(x))$ olsun. Amacımız $(V\setminus \{f(x)\})\cap f[A]\neq\emptyset$ olduğunu göstermek.

$\left.\begin{array}{r}V\in\mathcal{U}(f(x)) \\ \\ f, \text{ sürekli} \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{r} f^{-1}[V]\in\mathcal{U}(x) \\ \mbox{} \\ x\in D(A)\end{array}\right\}\Rightarrow (f^{-1}[V]\setminus \{x\})\cap A\neq\emptyset\end{array}$

$\Rightarrow f[(f^{-1}[V]\setminus \{x\})\cap A]\neq f[\emptyset]$

$\Rightarrow f[f^{-1}[V]\setminus \{x\}]\cap f[A]\neq \emptyset$

$\Rightarrow f[f^{-1}[V]\cap (X\setminus \{x\})]\cap f[A]\neq \emptyset$

$\Rightarrow f[f^{-1}[V]]\cap f[X\setminus \{x\}]\cap f[A]\neq \emptyset$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow V\cap f[X\setminus \{x\}]\cap f[A]\neq \emptyset \\ \\ f, \text{ birebir}\end{array}\right\}\Rightarrow V\cap (Y\setminus f[\{x\}])\cap f[A]\neq \emptyset$

$\Rightarrow V\cap (Y\setminus \{f(x)\})\cap f[A]\neq \emptyset$

$\Rightarrow (V\setminus \{f(x)\})\cap f[A]\neq \emptyset.$