$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi üzerindeki alışılmış topolojinin elemanları, açık aralıkların birleşimleri şeklinde yazılan kümeler olduğundan her $a,b\in\mathbb{R}$ için $(-\infty,a),$ $(a,\infty),$ $(a,b)$ ve $\mathbb{R}$ şeklindeki herhangi bir açık aralığın, uç noktaları rasyonel olan açık aralıkların birleşimi şeklinde yazılabileceğini göstermek yeterli olacaktır.
$1)$ $a\in\mathbb{Q}$ ise $(-\infty,a)=\bigcup \{(a-n,a)|n\in\mathbb{N}\}$
$2)$ $a\in\mathbb{I}$ ise $(-\infty,a)=\bigcup \left\{\left(\frac{\lfloor a\cdot10^n\rfloor}{10^n}-n,\frac{\lfloor a\cdot10^n\rfloor} {10^n}\right)\Big{|}n\in\mathbb{N}\right\}$
$3)$ $a\in\mathbb{Q}$ ise $(a,\infty)=\bigcup \{(a,a+n)|n\in\mathbb{N}\}$
$4)$ $a\in\mathbb{I}$ ise $(a,\infty)=\bigcup \left\{\left(\frac{\lceil a\cdot 10^n\rceil}{10^n},\frac{\lceil a\cdot 10^n\rceil}{10^n}+n\right)|n\in\mathbb{N}\right\}$
$5)$ $a,b\in\mathbb{Q}$ ise $(a,b)=\bigcup \{(a,b)\}$
$6)$ $a\in\mathbb{Q}$ ve $b\in\mathbb{I}$ ise $(a,b)=\bigcup \left\{\left(a,\frac{\lfloor b\cdot 10^n\rfloor}{10^n}\right)|n\in\mathbb{N}\right\}$
$7)$ $a\in\mathbb{I}$ ve $b\in\mathbb{Q}$ ise $(a,b)=\bigcup \left\{\left(\frac{\lceil a\cdot 10^n\rceil}{10^n},b\right)|n\in\mathbb{N}\right\}$
$8)$ $a,b\in\mathbb{I}$ ise $(a,b)=\bigcup \left\{\left(\frac{\lceil a\cdot 10^n\rceil}{10^n},\frac{\lfloor b\cdot 10^n\rfloor}{10^n}\right)|n\in\mathbb{N}\right\}$
$9)$ $\mathbb{R}=\bigcup\{(-n,n)|n\in\mathbb{N}\}$