Question

Eğri asimptot tanımındaki $g$ fonksiyonunun polinom fonksiyon olması şart mı? Olmazsa ne olur?

 

Tanım: $A\subseteq\mathbb{R}, \ f\in\mathbb{R}^A$ ve $A$ alttan (veya üstten) sınırsız bir küme olmak üzere

$\lim\limits_{x\to -\infty}[f(x)-g(x)]=0 \ \left(\text{veya } \ \lim\limits_{x\to \infty}[f(x)-g(x)]=0\right)$

olacak şekilde bir $g$ POLİNOM fonksiyonu varsa $g$ POLİNOM fonksiyonuna $f$ fonksiyonunun $-\infty$ $($veya $\infty)$ kolda bir eğri asimptotu denir.

Comments

$e^{-x^2}$ butun $\lim_{x\to \pm\infty} f(x) = 0$ sartini saglayan fonksyonlarin asimptotu olur

---

Doğru. Peki başka?

---

İlgili linkte verilen eğri asimptot tanımına göre $$g(x)=x$$ kuralı ile verilen $g$ fonksiyonu,

$$f(x)=\frac{x^2+1}{x}$$

kuralı ile verilen $f$ fonksiyonunun bir eğik asimptotu olur.

Şimdi kendimize acaba $$n(x)=e^x$$ kuralı ile verilen $n$ fonksiyonu, 

$$m(x)=e^{\frac{x^2+1}{x}}$$

kuralı ile verilen $m$ fonksiyonunun bir eğri asimptotu olur mu sorusunu soralım.

Yine ilgili linkte verilen eğri asimptot tanımı gereği
$$\lim\limits_{x\to -\infty}\left(m(x)-n(x)\right)=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(e^\frac{x^2+1}{x}-e^x\right)=0$$ olduğundan $$n(x)=e^x$$ kuralı ile verilen $n$ fonksiyonu, 

$$m(x)=e^{\frac{x^2+1}{x}}$$

kuralı ile verilen $m$ fonksiyonunun bir eğri asimptotu olur. Ancak bir de her $a>1$ için

$\lim\limits_{x\to -\infty}\left(e^\frac{x^2+1}{x}-a^x\right)=0$

olduğundan $$h_a(x)=a^x$$ kuralı ile verilen $h$ fonksiyonları da $m$ fonksiyonun birer eğri asimptotu olur. Bu durumda da fonksiyonun sonsuz tane eğri asimptotu vardır gibi bir sonuca ulaşmış oluruz. Bir fonksiyonun sonsuz tane eğri asimptotunun olması pek de istenen bir şey değildir. Hem bunun önüne geçmek hem de @DoganDonmez hocamın yanıtındaki açıklamalardan dolayı eğri asimptotun polinom fonksiyon olması işimize gelir.

---

O zaman bir sonraki soru: "bir fonksiyonun eğri sonuşmazı (varsa) tektir" mi?

---

İki tane olabilir. Hafta sonu detaylı bir açıklama yazmaya çalışacağım.

Answer 1

Böyle bir koşul koymadan da tanımlamak mümkün. Fakat:
Asimptot, daha çok bir fonksiyonunu grafiğini çizmeye yardımcı olması amacıyla kullanılır. Bu nedenle, grafiği kolayca çizilebilen basit bir fonksiyon olmalıdır (ki bir de onun grafiğini çizmek için çaba harcamayalım). O nedenle polinom olması koşulu daha pratik olur.
Diğer bir amacı da, ($x\to\pm\infty$) $f(x)$ i  yaklaşık hesaplamakta için kullanılabilir. O zaman da, ancak, asimptotun, $f$ den daha kolay hesaplanabilen  bir fonksiyon olması yararlı olur.