$x>0$ için $f(x+1)=x\cdot f(x)$ ve $f(1)=1$ ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
$\textbf{a)}\ f(x)$'in en küçük değerini aldığı nokta $(1,2)$ aralığındadır.
$\textbf{b)}\ f(x)$'in en küçük değerini aldığı nokta $(0,1)$ aralığındadır.
$\textbf{c)}\ f(x)$ en büyük değerini $x=1$ noktasında alır.
$\textbf{d)}\ f(x)$'in en büyük değerini aldığı nokta $(1,2)$ aralığındadır.
$\textbf{e)}\ f(x)$'in en büyük değerini aldığı nokta $(2,\infty)$ aralığındadır.
$\color{red}{\text{Bazı Bilgiler:}}$
$\bullet$ Elimde 1995 yılına ait gerçek Tübitak Lise 1. Aşama sınav kitapçığı (tarama-pdf vb) yoktur. Bu tür sınavların çözümlerine yönelik eskiden yazılmış kitaplar vardır. Soruyu Mustafa Töngemen'in 2007 basımlı kitabından aldım. Çok düşük bir ihtimal de olsa yazım hatası olabilir, bunu açıklamak için kaynak belirttim. Ayrıca, yazım hatası olduğunu düşünmüyorum.
$\bullet$ Kitaptaki çözümde özetle, $x$ in pozitif tam sayı olduğu varsayılarak $f(x) = (x-1)!$ olduğu gösterilmiştir. Teleskopik çarpım ile bu kısmın doğru olduğu kolayca görülür. Fakat kitaptaki çözümde, fonksiyonun tanım kümesi pozitif tam sayılar olarak alındığı için genel anlamda çözüm hatalıdır. $x$ pozitif tam sayı iken $(x-1)!$ sınırsızdır, buna dayanarak cevap (e) şıkkı verilmiştir. Sınırsız olan bir fonksiyon için en büyük değerden bahsetmek anlamsız olur, bu yüzden verilen çözümü doğru bulmadım.
$\bullet$ Soruda $x>0$ verildiği için, $x=\dfrac{1}{2}, x= \sqrt{2}$ gibi rasyonel, irrasyonel değerler de alabilir. Aslında $f(x+1)=x\cdot f(x)$ denklemini ve $f(1)=1$ koşulunu sağlayan meşhur bir fonksiyon vardır, Gamma fonksiyonu :
$$ \Gamma (x) = \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{x-1} dt \text{ .}$$
Şimdi kitabi bir bilgi olarak, $x>0$ iken $\Gamma$ fonksiyonunun $x\approx 1,46$ için minimum olduğunu görüyoruz. Bu bilgilere dayanarak sorunun cevabı (a) seçeneği olacaktır. Elimizde resmi cevap anahtarı da yoktur. Cevap anahtarına ulaşabilseydik, belki de yanıtı (a) olarak görecektik. Muhtemelen yazar, bu tür bir sağlam bilgi ile sınav sorusunu yazdı. Bu yüzden soruda yazım hatası olduğunu düşünmüyorum.
$\bullet$ Soruda başka bir sıkıntı olduğunu düşünüyorum. $x>0$ için $f(x+1)=x\cdot f(x)$ ve $f(1)=1$ koşulu ile verilen fonksiyonel denklemin daha farklı çözümleri de olamaz mı? Fonksiyonun değer kümesinin neden pozitif gerçel sayılar olduğunu düşünüyoruz? Mesela $f(\frac{1}{2})=-5$ olamaz mı? $f$ nin sürekliliği veya türevlenebilirliği ile ilgili bir bilgi de sunulmamış problemde. Cauchy fonksiyonel denkleminde olduğu gibi, bu fonksiyonel denklem için de hiçbir yerde sürekli olmayan çözümler olamaz mı?
$\bullet $ Belki de Gamma fonksiyonundan başka, olabilecek tüm çözüm fonksiyonlarının $1<x<2$ aralığında mimimum değere sahip olduğu basit bir yolla ispatlanabiliyordur. Böyle bir durum varsa, soru tamamen aklanır.
Görüşlerinizi paylaşabilirseniz sevinirim.