Şekildeki $\theta$ açısının ölçüsünü bulunuz.

Question

Şekil bir yarım çemberdir. $\theta$ açısının ölçüsünü bulunuz.

Comments

Ya ben bunu cok sevdim cozdum

---

Çözümü yazar mısın @eloi.

($\alpha=70^\circ$ değilse? Diğer durumlarda da aynı açı değerinin çıktığını da göstermelisin)

---

Hocam sakalimda beyaz buldum bugun. Ayip olur simdi orta okul sorusunun tum cevabini cozsem heyecani kacar. ama bir sneak peek daha atabilirim

---

Güzel çözüm olursa mazur görürüz :-)

Answer 1

Açının köşe noktasını (şekilde B) çapa (şekilde PQ) göre yansıtalım, bu noktaya B' diyelim. B' de çember üzerindedir. B' açısının ölçüsü de $\theta$ olur. B'AC açısı $\alpha$ ve B'CA  açısının ölçüsü de $\beta$ olduğundan B',C ve M doğrusaldır. Benzer şekilde, B', A ve N de doğrusaldır. PB'Q dik açı ve $m(PB'N)=20^\circ,\ m(QB'M)=25^\circ$ olduğundan $\theta=45^\circ$ olur.

Comments

soran olabilir mesela simdi o 20 ve 25 dereceli acilar nereden geldi diye. Yani ben soruyorum suan acikcasi

---

PN ile P deki teğet arasındaki açı $20^\circ$, QM ile Q daki teğet arasındaki açı $25^\circ$

PB'N (ve QB'M) çevre açısı, teğet kiriş açısı ile aynı yayı görüyor.
(EK: $\theta$ açısı  PM, NQ ve NM yaylarını düşünerek de bulunabilir)

Answer 2

Ben şekil çizemediğimden Doğan Hocanın çizdiği şekil üzerinden çözümü anlatacağım.

NP yayının  ölçüsünün 40 derece ve QM yayının ölçüsünün 50derece oldukları açıktır. Dolayısıyla MBN yayı 90 derecedir. Öte yandan [BA  nın çemberi kestiği noktaya D ve [BC nin çemberi kestiği noktaya da E denirse  ve ters durumlu açı ölçülerinin eşitliğinden  PD yayının ölçüsü 40,EQ yayının ki 50 derece olur. MB yayının ölçüsü b, BN yayının ölçüsü a olsun.$a+b=90$ dır.

PAD iç açısının ölçüsu=$\alpha=\frac{40+b+50}{2}$  olup $2\alpha=b+90$ dır.(*)

ECQ iç açısının ölçüsü=$\beta=\frac{50+a+40}{2}$ve $2\beta=a+90$ olur.(**)

Son iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa $2(\alpha+\beta)=a+b+180$ ve buradan $\alpha+\beta=135$ bulunur. O halde $\theta=45$ dir.

Answer 3

Mathematica ile cozelim :)

 

ClearAll["Global`*"]

seneryo = RandomInstance[
  
           GeometricScene[{{a, b, c, p, q, m, n, b2, o}, {r}}, {
    
    CircleThrough[{q, m, b, n, p, b2}, o], o == Midpoint[{p, q}],
    Line[{p, a, o, c, q}], Line[{n, a, b2}], Line[{m, c, b2}], 
    Line[{p, n}], Line[{q, m}], Line[{a, b}], Line[{b, c}], 
    Line[{p, b2}], Line[{q, b2}],
    GeometricAssertion[Line[{p, a, c, q}], "Horizontal"],
    GeometricAssertion[{Point /@ {n, b, m}, 
      Point[b2]}, {"OppositeSides", InfiniteLine[{p, q}]}],
    PlanarAngle[{a, p, n}] == 70 °,
    PlanarAngle[{m, q, c}] == 65 °,
    PlanarAngle[{q, b2, p}] == 90 °,
    GeometricAssertion[{PlanarAngle[{p, a, n}] == 
       PlanarAngle[{b, a, c}] == PlanarAngle[{c, a, b2}], 
      PlanarAngle[{a, c, b}] == PlanarAngle[{m, c, q}] == 
       PlanarAngle[{a, c, b2}], 
      PlanarAngle[{a, b, c}] == PlanarAngle[{a, b2, c}]}]}], 
  RandomSeeding -> 888]

 

 

 

sonuclar = FindGeometricConjectures[seneryo]["Conclusions"]

 

Cases[sonuclar, Inactive[PlanarAngle][{a, b, c}] ==  Inactive[PlanarAngle][{a, b2, c}] == _?NumericQ]

{Inactive[PlanarAngle][{a, b, c}] ==  Inactive[PlanarAngle][{a, b2, c}] == 45 °}