İngilizce'den Türkçe'ye çevrilmiştir.
Kaynak: https://cms.math.ca/Competitions/COMC/examarchive/comc2015-exam-en.pdf
ABC üçgeni, BCA açısı 90 derece olan bir dik üçgen olsun.
AC çaplı bir çember, AB hipotenüsünü K 'da kesmektedir.
Eğer, BK:AK=1:3 ise, BAC açısının ölçüsünü bulunuz.
AC nin ortası merkez ise çember A ve C noktasından geçer.
$AC$ çap olduğu için $[CK]\bot [AB]$ dir .Eğer $|AK|=3k$ olursa $|BK|=k$ olacaktır. Öklid teoreminden $|CK|=k\sqrt3$ olur. $\triangle CAK$ da $tan(CAK)=\frac{\sqrt 3}{3}\Rightarrow m(CAK)=30$ derecedir.
CK 'yı öklid teoreminden nasıl bulduk?
$AC$ çap ve çemberin $AB$ hipotenüsünü kestiği nokta $K$ olduğundan $m(CKA)=90$ dır. $|CK|^2=|AK|.|BK|=3k.k\Rightarrow |CK|=k\sqrt3$ olur.
|CK|^2=3k.k
|CK|=$ k\sqrt 3$
Karşı dik kenarın bitişik dik kenara oranı tan A olacağından
tan A = $ \frac {CK} {AK} = \sqrt 3 $
İstirazınız neye? anlayamadım.
İki üçgenin benzerliğinden de yapılabilir.
Tabii ki yapılabilir. Zaten Öklid bağıntıları da benzerlikten çıkıyor.