Question

$(\sqrt{n})_n$ dizisinin Cauchy dizisi olmadığını Cauchy dizisi tanımından hareketle gösteriniz.

Answer 1

Tanım: $(x_n)_n\in\mathbb{R}^\mathbb{N}$  olsun.

$$(x_n)_n, \text{ Cauchy dizisi}:\Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists K\in \mathbb{N})(n,m\geq K\rightarrow |x_n-x_m|<\epsilon)$$
$$(x_n)_n, \text{ Cauchy dizisi değil}:\Leftrightarrow (\exists \epsilon>0)(\forall K\in \mathbb{N})(n,m\geq K\wedge |x_n-x_m|\geq \epsilon)$$

Bu bilgiler ışığı altında $(\sqrt{n})_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olmadığını göstermek için

$$(\exists \epsilon>0)(\forall K\in \mathbb{N})(n,m\geq K\wedge |\sqrt{n}-\sqrt{m}|\geq \epsilon)\ldots (*)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$\epsilon=1$ olmak üzere her $K\in\mathbb{N}$ için $n:=4K^2$ ve $m:=K^2$ seçilirse
$$n,m\geq K\wedge |\sqrt{n}-\sqrt{m}|=\left|\sqrt{4K^2}-\sqrt{K^2}\right|=K\geq 1=\epsilon$$ koşulu sağlanır yani $(*)$ önermesi doğru olur. O halde $$(\sqrt{n})_n$$ dizisi bir Cauchy dizisi değildir.

Comments

Hocam şunu da not edelim burada bulunsun: Gerçel terimli bir $(a_n)$ dizisinin ardışık terimleri arasındaki uzaklık sıfıra yaklaşıyorsa, yani $$\lim_{n \to\infty }(a_{n+1}-a_n)=0$$ oluyorsa $(a_n)$ dizisine bir quasi-Cauchy dizisi  denir.  Her Cauchy dizisi bir quasi-Cauchy dizisidir fakat karşıtı her zaman doğru değildir. Örnek olarak burada verdiğiniz $(\sqrt{n})_n$  dizisi ve önceden verdiğiniz Harmonik serinin kısmi toplamlar dizisi birer quasi-Cauchy dizisi olmalarına rağmen Cauchy dizisi değildirler.