Öncelikle sonunda sabit dizi tanımını hatırlayalım.
Tanım: $X\neq\emptyset$ küme ve $(x_n)_n\in X^{\mathbb{N}}$ olsun.
$(x_n)_n, \text{ sonunda sabit}:\Leftrightarrow (\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow x_n=x_K)$
Şimdi kanıta geçebiliriz.
Kanıt: $(\Rightarrow):$ $(x_n)_n\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ yakınsak olsun.
$\left.\begin{array}{rr}(x_n)_n, \text{ yakınsak}\Rightarrow (\exists a\in \mathbb{R})(x_n\to a) \\ \\ (x_n)_n\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\Rightarrow |\{x_n|x_n\neq a\}|\leq \aleph_0\Rightarrow \mathbb{R}\setminus \{x_n|x_n\neq a\}\in\mathcal{U}(a)\end{array}\right\}\Rightarrow $
$\Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow x_n\in\mathbb{R}\setminus \{x_n|x_n\neq a\})$
$\Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow x_n\notin \{x_n|x_n\neq a\})$
$\Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow x_n=a).$
$(\Leftarrow):$ $(x_n)_n,$ sonunda sabit olsun.
$\left.\begin{array}{rr} (x_n)_n, \text{ sonunda sabit} \Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow x_n=x_K) \\ \\ U\in\mathcal{U}(x_K) \end{array}\right\}\Rightarrow$
$\Rightarrow (\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow x_n\in U).$