${ \int_0^{\pi/2}ln^2(tan(x)) dx}$

Question

Merhabalar

Aşağıdaki integrali nasıl çözebilirim ? Teşekkürler.

${\Large \int_0^{\pi/2}ln^2(tan(x)) dx}$

Comments

$2\int _{0}^{\dfrac {\pi } {2}}\ln ^{2}\sin xdx$ 'ye eşit olduğunu buldum. ama bir işe yaratamadım.

---

Ben böyle buldum ?

${\large I=\int_0^{\pi/2}ln^2(tan(x)) dx}$

${\large I=\int_0^{\pi/2} \Large(\large ln(sin(x))-ln(cos(x))\Large)^2 dx}$

${\large I=\int_0^{\pi/2} ln^2(sin(x))+ln^2(cos(x))-2ln(sin(x))ln(cos(x))dx }$

${\large  I=\int_0^{\pi/2}ln^2(sin(x))dx+\int_0^{\pi/2} ln^2(cos(x))dx-2\int_0^{\pi/2} ln(sin(x))ln(cos(x))dx }$

${\large\int_0^{\pi/2}ln^2(sin(x))dx=\int_0^{\pi/2}ln^2(cos(x))dx }$

${\large I=2\int_0^{\pi/2}ln^2(sin(x))dx-2\int_0^{\pi/2}ln(sin(x))ln(cos(x))dx }$

---

evet ben işareti karıştırmışım bir yerde.

---

Biri cevabı yazacak mı? Bertan hocam, sen de aralara biraz sözlü ifade eklesen aslında, böyle okuması ve anlaması çok zor oluyor (bana göre).

---

Hocam soru daha önceden sorduğum bir sorunun değişken değiştirilmiş hali.(${u=arctan(x)}$). Sorunun linki aşağıda.Cevap bildiğiniz gibi sonsuz bir seri çıkmıştı.Benim amacım cevabı sonsuz seri olmadan çözmek.Onun içinde böyle bir şey yaptım , olurmu olmazmı bilmiyorum.

http://matkafasi.com/15154/guzel-bir-integral-sorusu

---

Bu da seriden çözülür, simetri ve eksen değişikliği ile. 

Bu ikisi aynı soru ise içerdekinin $\arctan x$ olması gerekmez mi?

---

${u=arctan(x) }$ ise ${ tan(u)=x }$ olur.

${ln^2(x) --->ln^2(tan(x))}$ olmazmı ?

${}

---

Haklısın.     

Answer 1

${tan(x)=u}$ dönüşümü yaparak buradaki integral elde edilir.