Sonsuz toplam ve Integral

Question

Safak Ozden'in ilgili cevaptaki yorumuna istinaden...

$$g_n(x) = x^{n-1}(1-x)[n^2x - (n-1)^2]$$ ve $$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} g_n(x)\;, \quad \quad 0 \leq x \leq 1$$ olsun.

(Soru 1) $$f_N(x) = \sum_{n = 1}^N g_n(x) = N^2 x^N(1-x)$$oldugunu gosterin. Bunu dogru kabul ettigimiz takdirde,

(Soru 2)

• $x \neq 1$ icin $f(x) = \lim_{N \to \infty} f_N(x) = \lim_{N\to \infty}N^2x^N(1-x) = 0$

oldugunu gosterin. $x =1 $ icin ise, $f(1) = 0$ oldugu bariz. O halde, $$ \int_0^1[\sum_{n = 1}^{\infty}g_n(x)] dx= \int_0^1f(x) dx = \int_0^1 0 dx  = 0$$

Ote yandan, $$\sum_{n=1}^N \int_0^1 g_n(x) dx = \int_0^1[\sum_{n =1}^N g_n(x)]dx = \int_0^1f_N(x)dx$$ $f_N$'i yukarida hesaplamistik: $$\int_0^1 f_N(x)dx = \int_0^1 N^2 x^N (1-x) dx = N^2 \int_0^1 x^N (1-x) dx$$

(Soru 3) 

Bu son integrali de hesaplayip,$$\sum_{n=1}^N\int_0^1 g_n(x) = \frac{N^2}{(N+1)(N+2)}$$oldugunu gosterin. 

Buradan hareketle, $N$'yi sonsuza goturdugumuzde $$\sum_{n = 1}^{\infty} \int_0^1 g_n(x)dx = 1$$ oldugunu goruyoruz. 

Demek ki, $$\sum_{n = 1}^{\infty} \int_0^1 g_n(x) dx \neq \int_0^1 \sum_{n = 1}^{\infty} g_n(x) dx$$ Yani, integral ve sonsuz toplamin yerlerini canimiz istedigi gibi degistiremiyoruz. Peki bunun sebebi ne?

Comments

fonksiyon dizisinin fonksiyona duzgun yakinsamasi lazim..

---

Evet Okkes Dulgerci hocam. Ilgili soruda da saniyorum Safak Ozden'in demek istedigi bunun dile getirilmesi gerektigiydi.

---

Aynı şey türev içinde geçerli değil mi?

---

Yani $g$ fonksiyonu ıraksakolduğu için mi eşitsizlik oluştu?

Teoremin  ismi nedir acaba

---

@bertan88 kusura bakma, gormemisim bu yorumu. Buyuk ihtimalle ayni sey turev icin de gecerli. Denemedim.

@emilezola69 verilen aralikta serimiz yakinsak. Ama sadece noktasal yakinsak (pointwise convergent). Duzgun yakinsak (uniform convergent) degil. 

Teorem: Eger fonksiyon dizimiz (ya da bizim durumumuzda serimiz) duzgun yakinsak ise o zaman turev ( ya da integral) ile limit (bizim durumumuzda turev ile sonsuz toplam) yer degistirebilir.

Dikkat: Bunu yapabilmemiz icin duzgun yakinsaklik gerektigini soylemiyor teorem. Sadece duzgun yakinsaklik durumunda garantiliyor. Duzgun yakinsak olmadigi durumda, integral ile limiti yer degistiriyor olabiliriz ama bu sadece dizinin cok guzel olmasindan kaynaklaniyordur.

Peki duzgun yakinsaklik ile noktasal yakinsaklik arasindaki fark ne? 

$x_0 \in [0,1]$ olsun. $f_n(x_0)$'in $f(x_0)$'a yakinsamasi bildigimiz anlamda reel sayilarda yakinsama. Yani, $$\forall \epsilon >0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ oyle ki } \forall n > N, |f_n(x_0) - f(x_0) < \epsilon|$$ Buradan hareketle de $f_n$ dizisi $f$'e noktasal yakinsar demek de, her nokta icin yakinsaklik olmasi demek: $$\forall x \in [0,1], \forall \epsilon > 0 \exists N \text{ oyle ki } \forall n > N, |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$$ Gordugun gibi, burada once sen bana bir $x$ veriyorsun ve bir $\epsilon$ veriyorsun. Ben de buna bagli olarak sana bir $N$ buluyorum.

Duzgun yakinsakligin farki burada. Sen bana bir $\epsilon$ veriyorsun. Ben sana, oyle bir $N$ veriyorum ki bu $N$ butun $x$'ler icin calisiyor: $$\forall \epsilon >0, \exists N \text{ oyle ki } \forall n >N, \forall x \in [0,1], |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$$

Not: Burada $[0,1]$ araligini oylesine yazdim, bizim sorumuzda geciyor diye. Yine bizim sorumuzda bir seri var. Ama aslinda seri dedigimiz sey sonlu toplamlarin bir limiti. Yani bizim sorumda $f_N$'ler var. Harfler biraz karisik oldu kusura bakma.

Not2: Bununla ilgili daha detayli bilgiyi Ali Nesin'in Analiz II kitabinda bulabilirsin. Bir kopyasina matematik koyunun internet sitesindeki E-Kutuphane bolumunde ulasabilirsin.

---

çok açık bir açıklama, çok teşekkürler. okunacak kitaplar arasına koydum

---

@Ozgur, duzgun yakınsaklıgı anladım ama hala daha degiştirmesi ile baglantısını kuramadım, aynı fonksiyonun birsürü fonksiyon dizisi ve ayrı ayrı hepsini başka fonksiyonlara yakınsatabiliriz veya ben oyle sandıgım ıcın kafam karışıyor şöyle ki, $f_n(x)=x^n$ olsun ama $f_n(x)=x/n$ olabilirdi. Bu n göstergecini nereye koyuyoruz? Neden bunu soruyorum çünki eğer $\lim\limits_{a\to c}\dfrac{d}{dx}(\sin(a/x))$ olsun burada düzgün yakınsaklığını incelememiz gereken şey $sin(a/x)$ fonksiyonu peki bu neyin dizisi ki? Yani bunu nasıl sınayacağız?

Answer 1

1. soru için; $1-x$ ortak terim olduğundan onun parantezine alıp yazdım ve $x^n$ li terimleri içine dağıttım parantezin;

$\left( 1-x\right) [\left (x\right) +0)+\left( 4x^{2}-x\right) +\left( 9x^{3}-4x^{2}\right)+\ldots+x^{N-1}N^{2}x-\left( N-1\right) x^{N -1}] $

terimler birbirini götürücek ve $N^2.x^N$ kalacak sonda, 

Comments

ikinci soru yapım aşamasında

---

Tabi bir de numaralandırılmayan 4. soru var.

---

çözemedim,  $f_N(x)$ 'te $n$ yok?

limitteki $n$, $N$ olacak galiba?

---

O anlaşılır diye söylememiştim, büyük $N$ olmalı elbet. Ayrıca $0\leq x\leq 1$ olmalı.

---

Duzeltildi. Kusura bakma.

Answer 2

2.soru:$N=1/a$ dönüşümü yaptım.

$\lim _{a\rightarrow 0}\dfrac {1} {a^{2}}x^{\dfrac {1} {a}}\left( 1-x\right) $ 

\$dfrac {0} {0}$ belirsizliği var. L Hospital uygulayarak iki kez

$\lim_{a\rightarrow 0} \dfrac {\left( \ln x\right) ^{2}x^{\dfrac {1} {a}}} {2}\left( 1-x\right)=0  $, $0\leq x\leq 1$

Comments

$x=0$ ve $x=1$ icin limitin sifir oldugu acik.

$0<x<1$ olsun. O zaman,   

$(1-x)lim_{N\rightarrow \infty} \frac{N^2}{x^N}=(1-x)lim_{N\rightarrow \infty} \frac{2N}{Nx^{N-1}}=(1-x)lim_{N\rightarrow \infty} \frac{2}{x^{N-1}}=0$

---

Benim ustteki cozum (mu?) biraz rahatsiz edici..2. cozum..

$0<x<1$ olsun. $x:=\frac{1}{1+h}  $  $,h>0$

$x^N=\frac{1}{(1+h)^N}= \frac{1}{1+Nh+\frac{N(N-1)h^2}{2!}+\frac{N(N-1)(N-2)}{3!}h^3+...+h^N}<\frac{6}{N(N-1)(N-2)h^3}$ olur.

$(1-x )lim_{N \rightarrow \infty} N^2x^N<(1-x )lim_{N \rightarrow \infty} N^2\frac{6}{N(N-1)(N-2)h^3}=0$